Question Number 145067 by imjagoll last updated on 02/Jul/21
$$\:\mathrm{log}\:_{\mathrm{3}} \left({x}+\mathrm{1}\right)\:=\mathrm{log}\:_{\mathrm{4}} \left({x}+\mathrm{8}\right) \\ $$$$\:{x}=? \\ $$
Answered by bobhans last updated on 02/Jul/21
$$\:\mathrm{x}=\mathrm{8}\:\Rightarrow\mathrm{log}\:_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{8}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{log}\:_{\mathrm{4}} \left(\mathrm{8}+\mathrm{8}\right) \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{2}\:=\:\mathrm{2}\: \\ $$
Commented by bobhans last updated on 02/Jul/21
$$\mathrm{let}\:\mathrm{log}\:_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{k}\:\Rightarrow\mathrm{x}+\mathrm{1}=\mathrm{3}^{\mathrm{k}} \\ $$$$\:\mathrm{and}\:\mathrm{log}\:_{\mathrm{4}} \left(\mathrm{x}+\mathrm{8}\right)=\mathrm{k}\Rightarrow\mathrm{x}+\mathrm{8}=\mathrm{4}^{\mathrm{k}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{4}^{\mathrm{k}} −\mathrm{3}^{\mathrm{k}} \:=\:\mathrm{7}\: \\ $$$$\mathrm{k}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{1}−\mathrm{1}\neq\mathrm{7} \\ $$$$\mathrm{k}=\mathrm{2}\Rightarrow\mathrm{16}−\mathrm{9}=\mathrm{7}\:\mathrm{then}\:\mathrm{x}=\mathrm{3}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\:=\:\mathrm{8}\:\mathrm{or} \\ $$$$\mathrm{x}=\mathrm{4}^{\mathrm{k}} −\mathrm{8}=\mathrm{16}−\mathrm{8}=\mathrm{8} \\ $$