Question Number 156109 by cortano last updated on 08/Oct/21
$$\:\:\mathrm{log}\:_{\mathrm{5}} \left(\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{9}}\right)−\mathrm{log}\:_{\mathrm{5}} \left(\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{12}\right)−\mathrm{log}\:_{\mathrm{5}} \left(\sqrt{\mathrm{2x}−\mathrm{1}}\right)\:\leqslant\:\mathrm{0} \\ $$
Answered by yeti123 last updated on 08/Oct/21
$$\left(\mathrm{1}\right)\:\cap\:\left(\mathrm{2}\right)\:\cap\:\left(\mathrm{3}\right)\:\cap\:\left(\mathrm{4}\right)\:\cap\:\left(\mathrm{5}\right)\:\cap\:\left(\mathrm{6}\right)\:=\:\mathrm{9}\:<\:{x}\:\leqslant\:\mathrm{21478} \\ $$
Answered by yeti123 last updated on 08/Oct/21
$$\mathrm{log}_{\mathrm{5}} \left(\sqrt{{x}−\mathrm{9}}\right)\:−\:\mathrm{log}_{\mathrm{5}} \left(\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{12}\right)\:−\:\mathrm{log}_{\mathrm{5}} \left(\sqrt{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}\right)\:\leqslant\:\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{log}_{\mathrm{5}} \left(\frac{\sqrt{{x}−\mathrm{9}}}{\left(\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{12}\right)\left(\sqrt{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}\right)}\right)\:\leqslant\:\mathrm{log}_{\mathrm{5}} \left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\frac{\sqrt{{x}−\mathrm{9}}}{\left(\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{12}\right)\sqrt{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}}\:\leqslant\:\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\:{x}\:=\:\mathrm{9}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:….\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:−\mathrm{2}\:<\:{x}\:<\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}…..\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:{x}\:\leqslant\:\mathrm{21478}……..\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{log}_{\mathrm{5}} \left(\sqrt{{x}−\mathrm{9}}\right)\:\Rightarrow\:\sqrt{{x}−\mathrm{9}\:}\:>\:\mathrm{0}\:\Rightarrow\:{x}>\:\mathrm{9}…………..\left(\mathrm{4}\right) \\ $$$$\mathrm{log}_{\mathrm{5}} \left(\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{12}\right)\:\Rightarrow\:\left(\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{12}\right)\:>\:\mathrm{0}\:\Rightarrow\:{x}\:>\:\mathrm{2}\:\wedge\:{x}\:<\:−\mathrm{2}……….\left(\mathrm{5}\right) \\ $$$$\mathrm{log}_{\mathrm{5}} \left(\sqrt{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}\right)\:\Rightarrow\:\sqrt{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}\:>\:\mathrm{0}\:\Rightarrow\:{x}\:>\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}…………\left(\mathrm{6}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\:\cap\:\left(\mathrm{2}\right)\:\cap\:\left(\mathrm{3}\right)\:\cap\:\left(\mathrm{4}\right)\:\cap\:\left(\mathrm{5}\right)\:\cap\:\left(\mathrm{6}\right)\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:<\:{x}\:\leqslant\:\mathrm{21478} \\ $$
Commented by cortano last updated on 08/Oct/21
$$\mathrm{for}\:\mathrm{x}=\mathrm{1}\:\mathrm{is}\:\mathrm{not}\:\mathrm{solution} \\ $$
Commented by mr W last updated on 08/Oct/21
$${why}\:{x}\leqslant\mathrm{21478}?\:{how}\:{did}\:{you}\:{get}\:{it}? \\ $$$${in}\:{fact}\:{we}\:{have}\:{x}>\mathrm{9}\:{and}\:{for}\:{any}\:{x}>\mathrm{9} \\ $$$$\mathrm{0}<\frac{\sqrt{{x}−\mathrm{9}}}{\left(\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{12}\right)\sqrt{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}}\:\leqslant\mathrm{0}.\mathrm{0009}\:\leqslant\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$$${so}\:{the}\:{answer}\:{is}\:{x}\in\left(\mathrm{9},+\infty\right) \\ $$
Commented by yeti123 last updated on 08/Oct/21
$$\mathrm{yes}\:\mathrm{mr}.\:\mathrm{W},\:\mathrm{I}\:\mathrm{miscalculated}.\:\mathrm{thanks}\:\mathrm{for}\:\mathrm{the}\:\mathrm{correction}. \\ $$