Question Number 161362 by cortano last updated on 17/Dec/21
$$\:\mathrm{log}\:_{\sqrt{\frac{{x}}{\mathrm{3}}}} \left(\mathrm{3}{x}−\mathrm{54}\right)^{\mathrm{log}\:_{\mathrm{3}} \left({x}\right)} \:=\:\mathrm{18}−\mathrm{3log}\:_{\frac{{x}}{\mathrm{3}}} \left({x}^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$\:{x}=? \\ $$
Commented by bobhans last updated on 17/Dec/21
$$\:\frac{\mathrm{log}\:_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{x}\right)\left[\mathrm{1}+\mathrm{log}\:_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{x}−\mathrm{18}\right)\right]}{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[\mathrm{log}\:_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{1}\right]}\:=\:\mathrm{18}−\frac{\mathrm{6}\:\mathrm{log}\:_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{log}\:_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{1}} \\ $$$$\:\frac{\mathrm{2}\:\mathrm{log}\:_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{x}\right)\left[\mathrm{1}+\mathrm{log}\:_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{x}−\mathrm{18}\right)\right]}{\mathrm{log}\:_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{1}}\:=\:\frac{\mathrm{12}\:\mathrm{log}\:_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{18}}{\mathrm{log}\:_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{1}} \\ $$$$\:\mathrm{2log}\:_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{2log}\:_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{log}\:_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{x}−\mathrm{18}\right)=\mathrm{12log}\:_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{18} \\ $$$$\:\mathrm{log}\:_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{log}\:_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{x}−\mathrm{18}\right)−\mathrm{5log}\:_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{9}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\: \\ $$