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Min-f-x-cos-2x-3-sin-2x-2-3-cos-x-2sin-x-is-

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Question Number 164606 by cortano1 last updated on 19/Jan/22
Min f(x)= cos 2x +(√3) sin 2x −2(√3) cos x−2sin x is ...
$$\:{Min}\:{f}\left({x}\right)=\:\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}\:+\sqrt{\mathrm{3}}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}\:−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}\:\mathrm{cos}\:{x}−\mathrm{2sin}\:{x} \\ $$$$\:{is}\:… \\ $$
Answered by bobhans last updated on 19/Jan/22
f(x)= cos 2x + (√3) sin 2x −2(√3) cos x−2sin x set ϑ =sin x+(√3) cos x⇒ϑ^2 =sin^2 x+3cos^2 x+(√3) sin 2x we know that { ((sin^2 x=((1−cos 2x)/2))),((cos^2 =((1+cos 2x)/2))) :} ∵ sin^2 x+3cos^2 x = ((1−cos 2x+3+3cos 2x)/2)=2+cos 2x ⇒ϑ^2 = 2+cos 2x+(√3) sin 2x ⇒f(ϑ)= ϑ^2 −2−2ϑ=ϑ^2 −2ϑ−2=(ϑ−1)^2 −3 min f(ϑ)= −3 when ϑ=1=sin x+(√3) cos x or (1/2)= (1/2)sin x+((√3)/2) cos x (1/2) = cos (x−30°); x=90°
$$\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\:\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}\:+\:\sqrt{\mathrm{3}}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{2x}\:−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{x}−\mathrm{2sin}\:\mathrm{x}\: \\ $$$$\:\mathrm{set}\:\vartheta\:=\mathrm{sin}\:\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{3}}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\Rightarrow\vartheta^{\mathrm{2}} \:=\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\mathrm{3cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{3}}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{2x} \\ $$$$\:\mathrm{we}\:\mathrm{know}\:\mathrm{that}\:\begin{cases}{\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}=\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}}{\mathrm{2}}}\\{\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{1}+\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}}{\mathrm{2}}}\end{cases} \\ $$$$\:\because\:\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\mathrm{3cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:=\:\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}+\mathrm{3}+\mathrm{3cos}\:\mathrm{2x}}{\mathrm{2}}=\mathrm{2}+\mathrm{cos}\:\mathrm{2x} \\ $$$$\Rightarrow\vartheta^{\mathrm{2}} =\:\mathrm{2}+\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}+\sqrt{\mathrm{3}}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{2x} \\ $$$$\:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\vartheta\right)=\:\vartheta^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}−\mathrm{2}\vartheta=\vartheta^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\vartheta−\mathrm{2}=\left(\vartheta−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{3} \\ $$$$\:\mathrm{min}\:\mathrm{f}\left(\vartheta\right)=\:−\mathrm{3}\: \\ $$$$\:\mathrm{when}\:\vartheta=\mathrm{1}=\mathrm{sin}\:\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{3}}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{x} \\ $$$$\:\mathrm{or}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}\:\mathrm{x}+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:=\:\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{30}°\right);\:\mathrm{x}=\mathrm{90}° \\ $$
Answered by mr W last updated on 19/Jan/22
f(x)=2 cos (2x−(π/3))−4 cos (x−(π/6)) f(x)=2 cos {2(x−(π/6))}−4 cos (x−(π/6)) f(x)=2 cos 2t−4 cos t f(x)=4 cos^2 t−4 cos t−2 f(x)=(2 cos t−1)^2 −3 f(x)_(max) =9−3=6 at cos t=−1 f(x)_(min) =0−3=−3 at cos t=(1/2)
$${f}\left({x}\right)=\mathrm{2}\:\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{2}{x}−\frac{\pi}{\mathrm{3}}\right)−\mathrm{4}\:\mathrm{cos}\:\left({x}−\frac{\pi}{\mathrm{6}}\right) \\ $$$${f}\left({x}\right)=\mathrm{2}\:\mathrm{cos}\:\left\{\mathrm{2}\left({x}−\frac{\pi}{\mathrm{6}}\right)\right\}−\mathrm{4}\:\mathrm{cos}\:\left({x}−\frac{\pi}{\mathrm{6}}\right) \\ $$$${f}\left({x}\right)=\mathrm{2}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{t}−\mathrm{4}\:\mathrm{cos}\:{t} \\ $$$${f}\left({x}\right)=\mathrm{4}\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:{t}−\mathrm{4}\:\mathrm{cos}\:{t}−\mathrm{2} \\ $$$${f}\left({x}\right)=\left(\mathrm{2}\:\mathrm{cos}\:{t}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{3} \\ $$$${f}\left({x}\right)_{{max}} =\mathrm{9}−\mathrm{3}=\mathrm{6}\:{at}\:\mathrm{cos}\:{t}=−\mathrm{1} \\ $$$${f}\left({x}\right)_{{min}} =\mathrm{0}−\mathrm{3}=−\mathrm{3}\:{at}\:\mathrm{cos}\:{t}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$

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