Question Number 65192 by naka3546 last updated on 26/Jul/19
$${Minimum}\:\:{value}\:\:{of} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mid\:\mathrm{sin}\:{x}\:+\:\mathrm{cos}\:{x}\:+\:\mathrm{tan}\:{x}\:+\:\mathrm{cot}\:{x}\:+\:\mathrm{sec}\:{x}\:+\:\mathrm{cosec}\:{x}\:\mid\:\:\:{is}\:\:… \\ $$
Answered by Tanmay chaudhury last updated on 26/Jul/19
$${sinx}+{cosx}\:\rightarrow\left({let}\:{sinx}+{cosx}={a}\right) \\ $$$$\sqrt{\mathrm{2}}\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}{sinx}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}{cosx}\right) \\ $$$$\sqrt{\mathrm{2}}\:{sin}\left({x}+\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right) \\ $$$$\:\sqrt{\mathrm{2}}\:\geqslant\sqrt{\mathrm{2}}\:{sin}\left({x}+\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right)\geqslant−\sqrt{\mathrm{2}}\: \\ $$$$\sqrt{\mathrm{2}}\geqslant{a}\geqslant−\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$$${so}\: \\ $$$$\sqrt{\mathrm{2}}\:\geqslant{sinx}+{cosx}\geqslant−\sqrt{\mathrm{2}}\: \\ $$$${tanx}+{cotx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{{sinxcosx}}=\frac{\mathrm{2}}{{sin}\mathrm{2}{x}}=\frac{\mathrm{2}}{−\mathrm{1}+\mathrm{1}+{sin}\mathrm{2}{x}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{−\mathrm{1}+\left({sinx}+{cosx}\right)^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{2}}{{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} \\ $$$${secx}+{cosecx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{{cosx}}+\frac{\mathrm{1}}{{sinx}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}\left({sinx}+{cosx}\right)}{{sin}\mathrm{2}{x}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}\left({a}\right)}{{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} \\ $$$${now}\:\mid{sinx}+{cosx}+{tanx}+{cotx}+{secx}+{cosecx}\mid \\ $$$$=\mid{a}+\frac{\mathrm{2}}{{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{2}{a}}{{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\mid \\ $$$$=\mid{a}+\mathrm{2}×\frac{{a}+\mathrm{1}}{\left({a}+\mathrm{1}\right)\left({a}−\mathrm{1}\right)}\mid \\ $$$$=\mid{a}+\frac{\mathrm{2}}{{a}−\mathrm{1}}\mid \\ $$$${put}\:{a}=\sqrt{\mathrm{2}}\: \\ $$$$=\mid\sqrt{\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{2}\left(\sqrt{\mathrm{2}}\:+\mathrm{1}\right)}{\left(\sqrt{\mathrm{2}}\:−\mathrm{1}\right)\left(\sqrt{\mathrm{2}}\:+\mathrm{1}\right)}\mid \\ $$$$=\mid\sqrt{\mathrm{2}}\:+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\:+\mathrm{2}\mid \\ $$$$=\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{2}}\:+\mathrm{2} \\ $$$$=\mathrm{6}.\mathrm{23} \\ $$$${put}\:{a}=−\sqrt{\mathrm{2}}\: \\ $$$$\mid−\sqrt{\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{2}}{−\sqrt{\mathrm{2}}\:−\mathrm{1}}\mid \\ $$$$\mid−\sqrt{\mathrm{2}}\:−\frac{\mathrm{2}\left(\sqrt{\mathrm{2}}\:−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{1}}\mid \\ $$$$\mid−\sqrt{\mathrm{2}}\:−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\:+\mathrm{2}\mid \\ $$$$\mid\mathrm{2}−\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{2}}\:\mid \\ $$$$\mid−\mathrm{2}.\mathrm{23}\mid \\ $$$$=\mathrm{2}.\mathrm{23} \\ $$$${put}\:{a}=\mathrm{0} \\ $$$$\mid{a}+\frac{\mathrm{2}}{{a}−\mathrm{1}}\mid \\ $$$$=\mid\mathrm{0}+\frac{\mathrm{2}}{−\mathrm{1}}\mid \\ $$$$=\mathrm{2} \\ $$$$\boldsymbol{{so}}\:\boldsymbol{{minimum}}\:\boldsymbol{{value}}\:\boldsymbol{{is}}\:\mathrm{2} \\ $$$$\boldsymbol{{pls}}\:\boldsymbol{{check}} \\ $$$$ \\ $$