Question Number 115815 by Ar Brandon last updated on 28/Sep/20
$$\mathrm{Montrer}\:\mathrm{que}\:\:\forall\left(\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c}\right)\in\left(\mathbb{R}_{+} ^{\ast} \right)^{\mathrm{3}} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{bc}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{ac}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{c}^{\mathrm{2}} +\mathrm{ab}}\leqslant\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{ab}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{bc}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{ac}}\right) \\ $$
Answered by 1549442205PVT last updated on 29/Sep/20
$$\mathrm{We}\:\mathrm{have}: \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{bc}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{ac}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{c}^{\mathrm{2}} +\mathrm{ab}}\leqslant\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{ab}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{bc}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{ac}}\right) \\ $$$$\Leftrightarrow\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{bc}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{ac}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{c}^{\mathrm{2}} +\mathrm{ab}}\leqslant\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}}{\mathrm{2abc}}\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{Applying}\:\mathrm{Cauchy}'\mathrm{s}\:\mathrm{inequality}\:\mathrm{for}\:\mathrm{two} \\ $$$$\mathrm{positive}\:\mathrm{numbers}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}: \\ $$$$\:\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{bc}\geqslant\mathrm{2a}\sqrt{\mathrm{bc}},\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{ac}\geqslant\mathrm{2b}\sqrt{\mathrm{ac}} \\ $$$$\mathrm{c}^{\mathrm{2}} +\mathrm{ab}\geqslant\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{ab}},\mathrm{it}\:\mathrm{follows}\:\mathrm{that} \\ $$$$\mathrm{L}.\mathrm{H}.\mathrm{S}\leqslant\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2a}\sqrt{\mathrm{bc}}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2b}\sqrt{\mathrm{ac}}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2c}\sqrt{\mathrm{ab}}} \\ $$$$\mathrm{Hence},\mathrm{we}\:\mathrm{just}\:\mathrm{need}\:\mathrm{prove}\:\mathrm{that}: \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2a}\sqrt{\mathrm{bc}}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2b}\sqrt{\mathrm{ac}}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2c}\sqrt{\mathrm{ab}}}\leqslant\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}}{\mathrm{2abc}}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\Leftrightarrow\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{a}}}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{b}}}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{c}}}\leqslant\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}}{\:\sqrt{\mathrm{abc}}} \\ $$$$\Leftrightarrow\sqrt{\mathrm{ab}}+\sqrt{\mathrm{bc}}+\sqrt{\mathrm{ca}}\leqslant\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{2}\left(\sqrt{\mathrm{ab}}+\sqrt{\mathrm{bc}}+\sqrt{\mathrm{ca}}\right)\leqslant\mathrm{2}\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right) \\ $$$$\Leftrightarrow\left(\sqrt{\mathrm{a}}−\sqrt{\mathrm{b}}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\sqrt{\mathrm{b}}−\sqrt{\mathrm{c}}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\sqrt{\mathrm{c}}−\sqrt{\mathrm{a}}\right)^{\mathrm{2}} \geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{This}\:\mathrm{inequality}\:\mathrm{is}\:\mathrm{always}\:\mathrm{true} \\ $$$$\forall\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c}>\mathrm{0}.\mathrm{Hence},\left(\mathrm{2}\right)\mathrm{is}\:\mathrm{true}\:\mathrm{infer}\:\left(\mathrm{1}\right)\mathrm{is}\: \\ $$$$\mathrm{true}.\mathrm{Thus},\mathrm{the}\:\mathrm{given}\:\mathrm{inequality}\:\mathrm{is} \\ $$$$\mathrm{proved}.\mathrm{The}\:\mathrm{equality}\:\mathrm{ocurrs}\:\mathrm{if}\:\mathrm{and}\:\mathrm{only} \\ $$$$\mathrm{if}\:\mathrm{a}=\mathrm{b}=\mathrm{c}.\left(\boldsymbol{\mathrm{Q}}.\boldsymbol{\mathrm{E}}.\boldsymbol{\mathrm{D}}\right) \\ $$