Question Number 145522 by ArielVyny last updated on 05/Jul/21
$${montrer}\:{que}\:{l}'{ensemble}\:{des}\:{suites}\:{reelle}\:{qui} \\ $$$${verifie}\:{la}\:{relation}\:\forall{n}\in\mathbb{N} \\ $$$${aU}_{{n}+\mathrm{2}} +{bU}_{{n}+\mathrm{1}} +{cU}_{{n}} =\mathrm{0}\:\left(\mathrm{1}\right)\:\:{est}\:{un}\:{espace} \\ $$$${vectoriel}\:{de}\:{dimension}\:\mathrm{2} \\ $$$${et}\:{determiner}\:{une}\:{base}\: \\ $$$$ \\ $$
Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 05/Jul/21
$$\mathrm{Les}\:\mathrm{2}\:\mathrm{suites}\:\mathrm{reelles}\:{a}_{{n}} ={r}_{\mathrm{1}} ^{{n}} \:\mathrm{et}\:{b}_{{n}} ={r}_{\mathrm{2}} ^{{n}} \:\mathrm{ou} \\ $$$${r}_{\mathrm{1}} \:\mathrm{et}\:{r}_{\mathrm{2}} \:\mathrm{sont}\:\mathrm{les}\:\mathrm{racines}\:\mathrm{du}\:\mathrm{trinome} \\ $$$${ax}^{\mathrm{2}} +{bx}+{c}\:=\:\mathrm{0}\:\mathrm{forment}\:\mathrm{une}\:\mathrm{famille} \\ $$$$\mathrm{libre}\:\mathrm{et}\:\mathrm{generatrice}.\:\mathrm{Toute}\:\mathrm{suite}\:\mathrm{U}_{{n}} \\ $$$$\mathrm{verifiant}\:\mathrm{la}\:\mathrm{relation}\:\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{est}\:\mathrm{combinaison} \\ $$$$\mathrm{lineaire}\:\mathrm{de}\:{a}_{{n}} \:\mathrm{et}\:{b}_{{n}} \:\left(\mathrm{se}\:\mathrm{verifie}\:\mathrm{aisement}\right. \\ $$$$\left.\mathrm{par}\:\mathrm{recurrence}\right). \\ $$