Montrer-que-l-ensemble-Q-n-est-ni-ferme-ni-ouvert-

Question Number 157198 by Fresnel last updated on 20/Oct/21

M o n t r e r q u e l^{'} e n s e m b l e Q n^{'} e s t n i f e r m e n i o u v e r t

Answered by TheHoneyCat last updated on 21/Oct/21

\frac{\sqrt{2}}{2^{n}} \underset{n \to \infty}{\to} 0 \in Q

or \forall n \in N \frac{\sqrt{2}}{2^{n}} \in R - Q

Donc, Q n^{'} est pas ouvert

Soit u_{n + 1} = \frac{1}{2} (u_{n} + \frac{2}{u_{n}})

u_{0} = 1

(u_{n}) \in Q^{N} et est bornee, donc admet au moins

une valeur d^{'} adherence

On peut trivialement verifier que son seul point

fixe atteignable est \sqrt{2}

(i e, d a n s R l a s u i t e c o n e r g e v e r s \sqrt{2})

mais comme \sqrt{2} \in Q (p a r l^{'} a b s u r d e)

la suite ne converge pas dans Q

Q n^{'} est donc pas ferme .