Question Number 157198 by Fresnel last updated on 20/Oct/21
$$\mathrm{M}{ontrer}\:{que}\:{l}'{ensemble}\:{Q}\:{n}'{est}\:{ni}\:{ferme}\:{ni}\:{ouvert} \\ $$
Answered by TheHoneyCat last updated on 21/Oct/21
$$ \\ $$$$\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}^{{n}} }\underset{{n}\rightarrow\infty} {\rightarrow}\mathrm{0}\in\mathbb{Q} \\ $$$$\mathrm{or}\:\forall{n}\in\mathbb{N}\:\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}^{{n}} }\in\mathbb{R}−\mathbb{Q} \\ $$$$\mathrm{Donc},\:\mathrm{Q}\:\mathrm{n}'\mathrm{est}\:\mathrm{pas}\:\mathrm{ouvert} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Soit}\:{u}_{{n}+\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left({u}_{{n}} +\frac{\mathrm{2}}{{u}_{{n}} }\right) \\ $$$${u}_{\mathrm{0}} =\mathrm{1} \\ $$$$\left({u}_{{n}} \right)\in\mathbb{Q}^{\mathbb{N}} \:\mathrm{et}\:\mathrm{est}\:\mathrm{bornee},\:\mathrm{donc}\:\mathrm{admet}\:\mathrm{au}\:\mathrm{moins} \\ $$$$\mathrm{une}\:\mathrm{valeur}\:\mathrm{d}'\mathrm{adherence} \\ $$$$\mathrm{On}\:\mathrm{peut}\:\mathrm{trivialement}\:\mathrm{verifier}\:\mathrm{que}\:\mathrm{son}\:\mathrm{seul}\:\mathrm{point} \\ $$$$\mathrm{fixe}\:\mathrm{atteignable}\:\mathrm{est}\:\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$$$\left({ie},\:{dans}\:\mathbb{R}\:{la}\:{suite}\:{conerge}\:{vers}\:\sqrt{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\mathrm{mais}\:\mathrm{comme}\:\sqrt{\mathrm{2}}\in\mathbb{Q}\:\left({par}\:{l}'{absurde}\right) \\ $$$$\mathrm{la}\:\mathrm{suite}\:\mathrm{ne}\:\mathrm{converge}\:\mathrm{pas}\:\mathrm{dans}\:\mathbb{Q} \\ $$$$\mathbb{Q}\:\mathrm{n}'\mathrm{est}\:\mathrm{donc}\:\mathrm{pas}\:\mathrm{ferme}. \\ $$