n-0-1-2-n-n-1-n-2-

Question Number 146181 by mnjuly1970 last updated on 11/Jul/21

Σ_(n=0) ^∞ (1/(2^( n) (n+1 ) ( n + 2 ))) =?

$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\:{n}} \:\left({n}+\mathrm{1}\:\right)\:\left(\:{n}\:+\:\mathrm{2}\:\right)}\:=? \\ $$

Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 11/Jul/21

S = Σ_(n=0) ^∞ (1/(2^n (n+1)(n+2))) S = Σ_(n=0) ^∞ (1/2^n )((1/(n+1))−(1/(n+2))) (1/(1−x)) = Σx^n , ∣x∣<1 −ln∣1−x∣ = Σ_(n=0) ^∞ (x^(n+1) /(n+1)) Σ_(n=0) ^∞ (1/2^n ).(1/(n+1)) = 2Σ_(n=0) ^∞ ((((1/2))^(n+1) )/(n+1)) = −2ln∣1−(1/2)∣ = 2ln2 Σ_(n=0) ^∞ (1/2^n ).(1/(n+2)) = 4Σ_(n=0) ^∞ ((((1/2))^(n+2) )/(n+2)) = 4Σ_(n=0) ^∞ ((((1/2))^(n+1) )/(n+1))−2 = −4ln∣1−(1/2)∣−2 = 4ln2−2 S = 2ln2−(4ln2−2) = 2−2ln2

$$\mathrm{S}\:=\:\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}} \left({n}+\mathrm{1}\right)\left({n}+\mathrm{2}\right)} \\ $$$$\mathrm{S}\:=\:\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}} }\left(\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}}\:=\:\Sigma{x}^{{n}} ,\:\mid{x}\mid<\mathrm{1} \\ $$$$−\mathrm{ln}\mid\mathrm{1}−{x}\mid\:=\:\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{{n}+\mathrm{1}} }{{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}} }.\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}\:=\:\mathrm{2}\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{{n}+\mathrm{1}} }{{n}+\mathrm{1}}\:=\:−\mathrm{2ln}\mid\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mid\:=\:\mathrm{2ln2} \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}} }.\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{2}}\:=\:\mathrm{4}\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{{n}+\mathrm{2}} }{{n}+\mathrm{2}}\:=\:\mathrm{4}\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{{n}+\mathrm{1}} }{{n}+\mathrm{1}}−\mathrm{2}\:=\:−\mathrm{4ln}\mid\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mid−\mathrm{2}\:=\:\mathrm{4ln2}−\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{S}\:=\:\mathrm{2ln2}−\left(\mathrm{4ln2}−\mathrm{2}\right)\:=\:\mathrm{2}−\mathrm{2ln2} \\ $$

Answered by Ar Brandon last updated on 11/Jul/21

S(x)=Σ_(n≥0) (x^(n+2) /((n+1)(n+2))) ⇒S′(x)=Σ_(n≥0) (x^(n+1) /(n+1))⇒S′′(x)=Σ_(n≥0) x^n =(1/(1−x)) ⇒S′(x)=Σ_(n≥0) ∫^x _0 x^n dx=∫_0 ^x (dx/(1−x))⇒S′(x)=Σ_(n≥0) (x^(n+1) /(n+1))=ln((1/(1−x))) ⇒S(x)=Σ_(n≥0) ∫_0 ^x (x^(n+1) /(n+1))dx=∫_0 ^x ln((1/(1−x)))dx ⇒S(x)=Σ_(n≥0) (x^(n+2) /((n+1)(n+2)))=[(1−x)ln(1−x)−(1−x)]_0 ^x ⇒S(x)=(1−x)ln(1−x)−(1−x)+1=(1−x)ln(1−x)+x Σ_(n≥0) (1/(2^n (n+1)(n+2)))=4S((1/2))=4((1/2)ln((1/2))+(1/2))=2−2ln2

$$\mathrm{S}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)}\:\Rightarrow\mathrm{S}'\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\Rightarrow\mathrm{S}''\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\mathrm{x}^{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{S}'\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\underset{\mathrm{0}} {\int}^{\mathrm{x}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \mathrm{dx}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{x}} \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\Rightarrow\mathrm{S}'\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}=\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{S}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{x}} \frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\mathrm{dx}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{x}} \mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{S}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)}=\left[\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)−\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{x}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{S}\left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)−\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)+\mathrm{1}=\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)+\mathrm{x} \\ $$$$\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)}=\mathrm{4S}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{4}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{2}−\mathrm{2ln2} \\ $$

Answered by qaz last updated on 11/Jul/21

Σ_(n=0) ^∞ (1/(2^n (n+1)(n+2))) =Σ_(n=0) ^∞ (1/2^n )((1/(n+1))−(1/(n+2))) =Σ_(n=0) ^∞ (1/2^n )∫_0 ^1 (x^n −x^(n+1) )dx =∫_0 ^1 ((1−x)/(1−(x/2)))dx =2∫_0 ^1 (1−(1/(2−x)))dx =2(x+ln(2−x))∣_0 ^1 =2−2ln2

$$\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)} \\ $$$$=\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} }\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{2}}\right) \\ $$$$=\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} }\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{n}} −\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}−\mathrm{x}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}−\mathrm{x}}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\mathrm{2}\left(\mathrm{x}+\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}−\mathrm{x}\right)\right)\mid_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \\ $$$$=\mathrm{2}−\mathrm{2ln2} \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 11/Jul/21

S=Σ_(n=0) ^∞ (1/((n+1)(n+2)2^n )) let f(x)=Σ_(n=0) ^∞ (x^n /((n+1)(n+2))) ⇒ ⇒f(x)=Σ_(n=0) ^∞ ((1/(n+1))−(1/(n+2)))x^n =Σ_(n=0) ^∞ (x^n /(n+1))−Σ_(n=0) ^∞ (x^n /(n+2)) we have Σ_(n=0) ^∞ (x^n /(n+1))=Σ_(n=1) ^∞ (x^(n−1) /n)=(1/x)Σ_(n=1) ^∞ (x^n /n)=−(1/x)log(1−x) Σ_(n=0) ^∞ (x^n /(n+2))=Σ_(n=2) ^∞ (x^(n−2) /n)=(1/x^2 )Σ_(n=2) ^∞ (x^n /n)=(1/x^2 )(−log(1−x)−x) ⇒ f(x)=−(1/x)log(1−x)+(1/x^2 )(x+log(1−x)) =(1/x)+((1/x^2 )−(1/x))log(1−x) S=f((1/2))=2+(4−2)log((1/2))=2−2log(2)

$$\mathrm{S}=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)\mathrm{2}^{\mathrm{n}} }\:\:\mathrm{let}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)}\:\Rightarrow \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}+\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\mathrm{log}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right) \\ $$$$\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}+\mathrm{2}}=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} }{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\left(−\mathrm{log}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)−\mathrm{x}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\mathrm{log}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\left(\mathrm{x}+\mathrm{log}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}+\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)\mathrm{log}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{S}=\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{2}+\left(\mathrm{4}−\mathrm{2}\right)\mathrm{log}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{2}−\mathrm{2log}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$

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