Question Number 116162 by mnjuly1970 last updated on 01/Oct/20
$$\:\: \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{16}^{{n}} \left({n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{n}+\mathrm{2}\right)}\:\begin{pmatrix}{\mathrm{2}{n}}\\{{n}}\end{pmatrix}^{\mathrm{2}} \:=\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}\pi}\: \\ $$$$ \\ $$$${m}.{n}.{july}\:\mathrm{1970}. \\ $$$$\: \\ $$
Answered by maths mind last updated on 02/Oct/20
$${we}\:{try}\:{to}\:{prouve}\:{that} \\ $$$${S}\left({n}\right)\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}}{\mathrm{16}^{{k}} \left({k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{k}+\mathrm{2}\right)}\begin{pmatrix}{\mathrm{2}{k}}\\{{k}}\end{pmatrix}^{\mathrm{2}} =\frac{\left({n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{2}\left({n}+\mathrm{1}\right)!\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} .\mathrm{3}\left({n}+\mathrm{2}\right)\left(\left({n}+\mathrm{1}\right)!\right)^{\mathrm{4}} }={f}\left({n}\right)? \\ $$$${k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{k}+\mathrm{2}=\left({k}+\mathrm{2}\right)\left({k}+\mathrm{1}\right) \\ $$$${S}\left(\mathrm{0}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}={f}\left(\mathrm{0}\right) \\ $$$${suppose}\:\forall{n}\in\mathbb{N}\:\:{S}\left({n}\right)={f}\left({n}\right)\:{we}\:{Show}\:{that}\:{s}\left({n}+\mathrm{1}\right)={f}\left({n}+\mathrm{1}\right) \\ $$$${S}\left({n}+\mathrm{1}\right)={S}\left({n}\right)+\frac{\mathrm{2}\left({n}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}}{\mathrm{16}^{{n}+\mathrm{1}} \left({n}+\mathrm{3}\right)\left({n}+\mathrm{2}\right)}.\begin{pmatrix}{\mathrm{2}{n}+\mathrm{2}}\\{{n}+\mathrm{1}}\end{pmatrix}^{\mathrm{2}} \\ $$$${s}\left({n}\right)={f}\left({n}\right)=\frac{\left({n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{2}\left({n}+\mathrm{1}\right)!\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} .\mathrm{3}\left({n}+\mathrm{2}\right)\left(\left({n}+\mathrm{1}\right)!\right)^{\mathrm{4}} } \\ $$$${S}\left({n}\right)={f}\left({n}\right)+\frac{\mathrm{2}{n}+\mathrm{3}}{\mathrm{16}^{{n}+\mathrm{1}} \left({n}+\mathrm{3}\right)\left({n}+\mathrm{2}\right)}\begin{pmatrix}{\mathrm{2}{n}+\mathrm{2}}\\{{n}+\mathrm{1}}\end{pmatrix}^{\mathrm{2}} \\ $$$$=\frac{\left({n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{2}\left({n}+\mathrm{1}\right)!\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} \mathrm{3}\left({n}+\mathrm{2}\right)\left(\left({n}+\mathrm{1}\right)!\right)^{\mathrm{4}} }+\frac{\mathrm{2}{n}+\mathrm{3}}{\mathrm{16}^{{n}+\mathrm{1}} \left({n}+\mathrm{3}\right)\left({n}+\mathrm{2}\right)}.\frac{\left(\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{2}\right)!\right)^{\mathrm{2}} }{\left(\left({n}+\mathrm{1}\right)!\right)^{\mathrm{4}} } \\ $$$$=\frac{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{3}\right)\left(\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{2}\right)!\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} \left(\left({n}+\mathrm{1}\right)!\right)^{\mathrm{4}} \left({n}+\mathrm{2}\right)}\left(\frac{{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}\left({n}+\mathrm{3}\right)}\right) \\ $$$$=\frac{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{3}\right)\left(\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{2}\right)!\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} \left(\left({n}+\mathrm{1}\right)!\right)^{\mathrm{4}} \left({n}+\mathrm{2}\right)}\left(\frac{\mathrm{4}\left({n}+\mathrm{1}\right)\left({n}+\mathrm{3}\right)+\mathrm{3}}{\mathrm{12}}\right) \\ $$$$=\frac{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{3}\right)!.\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{2}\right)!}{\mathrm{4}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} \left({n}+\mathrm{2}\right)!\left(\left({n}+\mathrm{1}\right)!\right)^{\mathrm{3}} }\left(\frac{\mathrm{4}{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{16}{n}+\mathrm{15}}{\mathrm{12}\left({n}+\mathrm{3}\right)}\right) \\ $$$$\frac{−\mathrm{16}−\mathrm{4}}{\mathrm{8}}=−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}},\frac{−\mathrm{12}}{\mathrm{8}}=−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}} \\ $$$$=\frac{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{3}\right)!\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{2}\right)!\left(\mathrm{4}\left({n}+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\right)\left({n}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)\right)}{\mathrm{4}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} \left({n}+\mathrm{2}\right)!\left(\left({n}+\mathrm{1}\right)!\right)^{\mathrm{3}} .\mathrm{12}\left({n}+\mathrm{3}\right)}=\frac{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{5}\right)\left(\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{3}\right)!\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} .\mathrm{12}.\left(\left({n}+\mathrm{1}\right)!\right)^{\mathrm{3}} \left({n}+\mathrm{2}\right)!\left({n}+\mathrm{3}\right)} \\ $$$$=\frac{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{5}\right)\left(\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{3}\right)!\right)^{\mathrm{2}} .\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{4}\right)\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{4}\right).\left({n}+\mathrm{2}\right)}{\mathrm{4}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{2}} .\mathrm{3}\left({n}+\mathrm{3}\right)\left(\left({n}+\mathrm{2}\right)!\right)\left(\left({n}+\mathrm{1}\right)!\right)^{\mathrm{3}} .\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{4}\right)\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{4}\right)\left({n}+\mathrm{2}\right)} \\ $$$$=\frac{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{5}\right)\left({n}+\mathrm{2}\right)\left(\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{4}\right)!\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{2}} .\mathrm{3}\left({n}+\mathrm{3}\right)\left({n}+\mathrm{2}\right)!.\left(\left({n}+\mathrm{1}\right)!\right)^{\mathrm{3}} .\mathrm{4}\left({n}+\mathrm{2}\right)\left({n}+\mathrm{2}\right)\left({n}+\mathrm{2}\right)} \\ $$$$=\frac{\left({n}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{5}\right)\left(\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{4}\right)!\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{3}} .\mathrm{3}\left(\left({n}+\mathrm{2}\right)!\right)^{\mathrm{4}} \left({n}+\mathrm{3}\right)}=\frac{\left({n}+\mathrm{1}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}\left({n}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{2}\left({n}+\mathrm{1}+\mathrm{1}\right)!\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}^{\mathrm{2}\left({n}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}} .\mathrm{3}\left(\left({n}+\mathrm{1}+\mathrm{1}\right)!\right)^{\mathrm{4}} \left({n}+\mathrm{1}+\mathrm{2}\right)} \\ $$$$={f}\left({n}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\Rightarrow\forall{n}\in\mathbb{N}\:\:\:\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}}{\mathrm{16}^{{k}} \left({k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{k}+\mathrm{2}\right)}.\begin{pmatrix}{\mathrm{2}{k}}\\{{k}}\end{pmatrix}^{\mathrm{2}} =\frac{\left({n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{3}\right)\left(\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{2}\right)!\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} .\mathrm{3}\left(\left({n}+\mathrm{1}\right)!\right)^{\mathrm{4}} \left({n}+\mathrm{2}\right)} \\ $$$$\underset{{k}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}}{\mathrm{16}^{{k}} \left({k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{k}+\mathrm{2}\right)}\begin{pmatrix}{\mathrm{2}{k}}\\{{k}}\end{pmatrix}^{\mathrm{2}} =\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}{f}\left({n}\right) \\ $$$${Striling}\:{formula}\Rightarrow \\ $$$${n}!\sim\sqrt{\mathrm{2}\pi{n}}\left(\frac{{n}}{{e}}\right)^{{n}} \\ $$$$\Rightarrow\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\left({n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{3}\right)\left(\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{2}\right)!\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} .\mathrm{3}\left(\left({n}+\mathrm{1}\right)!\right)^{\mathrm{4}} \left({n}+\mathrm{2}\right)}=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\left({n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{3}\right)\left(\sqrt{\mathrm{2}\pi\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{2}\right)}.\frac{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{2}} }{{e}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{2}} }\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} \left({n}+\mathrm{2}\right).\mathrm{3}.\left(\sqrt{\mathrm{2}\pi\left({n}+\mathrm{1}\right)}.\left(\frac{{n}+\mathrm{1}}{{e}}\right)^{{n}+\mathrm{1}} \right)^{\mathrm{4}} } \\ $$$$=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\left({n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{3}\right).\mathrm{2}\pi\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{2}\right).\frac{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{4}{n}+\mathrm{4}} }{{e}^{\mathrm{4}{n}+\mathrm{4}} }}{\mathrm{4}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} \left({n}+\mathrm{2}\right).\mathrm{3}\left(\mathrm{2}\pi\left({n}+\mathrm{1}\right)\right)^{\mathrm{2}} .\left(\frac{{n}+\mathrm{1}}{{e}}\right)^{\mathrm{4}{n}+\mathrm{4}} } \\ $$$$=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\left({n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{2}\right).\mathrm{2}\pi}{\mathrm{4}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} \left({n}+\mathrm{2}\right).\mathrm{3}.\mathrm{4}\pi^{\mathrm{2}} \left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }.\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{4}{n}+\mathrm{4}} \left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}{n}+\mathrm{4}} }{{e}^{\mathrm{4}{n}+\mathrm{4}} }.\frac{{e}^{\mathrm{4}{n}+\mathrm{4}} }{\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}{n}+\mathrm{4}} } \\ $$$$=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{2}\right)\left({n}+\mathrm{1}\right).\mathrm{4}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{2}} }{\mathrm{4}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} .\mathrm{6}\pi\left({n}+\mathrm{1}\right)\left({n}+\mathrm{1}\right)\left({n}+\mathrm{2}\right)} \\ $$$$=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{4}}{.\mathrm{3}.\mathrm{2}\pi}.\frac{\mathrm{2}{n}+\mathrm{3}}{{n}+\mathrm{1}}.\frac{\mathrm{2}{n}+\mathrm{2}}{{n}+\mathrm{1}}.\frac{{n}+\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{6}\pi}.\mathrm{2}.\mathrm{2}=\frac{\mathrm{16}}{\mathrm{6}\pi}=\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}\pi} \\ $$$$\underset{{n}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{16}^{{n}} \left({n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{n}+\mathrm{2}\right)}\begin{pmatrix}{\mathrm{2}{n}}\\{{n}}\end{pmatrix}^{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}\pi} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$
Commented by mnjuly1970 last updated on 02/Oct/20
$${very}\:{astonishing}\: \\ $$$${thank}\:{you}\:{sir}…{excellent}.. \\ $$