Question Number 114023 by Khalmohmmad last updated on 16/Sep/20
$$\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\propto} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}=? \\ $$
Commented by Dwaipayan Shikari last updated on 16/Sep/20
$${Diverges} \\ $$$${first}\:{term}\:\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\rightarrow\infty\left(\:\:{n}=\mathrm{1}\:\:\right)\:{or}\:{undefined} \\ $$
Answered by mr W last updated on 16/Sep/20
$$\underset{\mathrm{n}=\mathrm{2}} {\overset{\propto} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{\mathrm{n}=\mathrm{2}} {\overset{\propto} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{n}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}+…\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}×\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}} \\ $$
Commented by Olaf last updated on 16/Sep/20
$$\mathrm{Erratum}! \\ $$$$\mathrm{S}_{{n}} \:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\:\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}−\mathrm{1}}−\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}+\mathrm{1}}\right) \\ $$$$\mathrm{S}_{{n}} \:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}}−\underset{{k}=\mathrm{3}} {\overset{{n}+\mathrm{1}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}}\right) \\ $$$$\mathrm{S}_{{n}} \:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\:\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{{n}}−\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}\right) \\ $$$$\mathrm{S}_{\infty} \:=\:\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}S}_{{n}} \:=\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}} \\ $$
Commented by mr W last updated on 16/Sep/20
$${you}\:{are}\:{right}! \\ $$
Answered by Olaf last updated on 16/Sep/20
$$\mathrm{for}\:{n}=\mathrm{1},\:\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\:\mathrm{is}\:\mathrm{not}\:\mathrm{defined}! \\ $$