Question Number 182794 by mnjuly1970 last updated on 14/Dec/22
$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\Omega\:=\:\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\frac{\:\left(−\underset{} {\overset{} {\mathrm{1}}}\:\right)^{\:{n}} }{\mathrm{2}^{\:{n}} .{n}\left({n}\underset{} {\overset{} {+}}\mathrm{1}\right)\left({n}\underset{} {\overset{} {+}}\mathrm{2}\right)}\:=\:?\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$ \\ $$
Answered by ARUNG_Brandon_MBU last updated on 14/Dec/22
$${S}\left({x}\right)=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{{n}+\mathrm{2}} }{{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)\left({n}+\mathrm{2}\right)}\:\Rightarrow{S}\:'\left({x}\right)=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{{n}+\mathrm{1}} }{{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\Rightarrow{S}\:''\left({x}\right)=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{{n}} }{{n}}\:\Rightarrow{S}\:'''\left({x}\right)=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}{x}^{{n}−\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}} \\ $$$$\Rightarrow{S}\:''\left({x}\right)=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{{n}} }{{n}}=−\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right)+{C}_{\mathrm{1}} ,\:{C}_{\mathrm{1}} =\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow{S}\:'\left({x}\right)=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{{n}+\mathrm{1}} }{{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)}=\left(\mathrm{1}−{x}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right)+{x}−\mathrm{1}+{C}_{\mathrm{2}} ,\:{C}_{\mathrm{2}} =\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow{S}\:'\left({x}\right)=\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right)−{x}\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right)+{x} \\ $$$$\Rightarrow{S}\left({x}\right)=\int\left[−{x}\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right)+\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right)+{x}\right]{dx} \\ $$$$\Rightarrow{S}\left({x}\right)=−\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}+{x}+\mathrm{ln}\mid{x}−\mathrm{1}\mid\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\left(\mathrm{1}−{x}\right)−\left(\mathrm{1}−{x}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right)+\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}+{C}_{\mathrm{3}} ,\:{C}_{\mathrm{3}} =−\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{\mathrm{2}^{{n}} {n}\left({n}+\mathrm{1}\right)\left({n}+\mathrm{2}\right)}=\mathrm{2}^{\mathrm{2}} {S}\left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)+\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)\right)+\mathrm{6}−\mathrm{6ln}\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\mathrm{4} \\ $$$$\Rightarrow\Omega=\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{4}}−\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$
Commented by mnjuly1970 last updated on 14/Dec/22
$${grateful}.{thank}\:{you}\:{sir}\: \\ $$