Question Number 166916 by mnjuly1970 last updated on 02/Mar/22
![Ω= Σ_(n=1) ^∞ (( H_( n) )/(n(n+1))) = −−−−−− Ω = Σ_(n=1) ^∞ −(1/(n+1)) ∫_(0 ) ^( 1) x^( n−1) ln(1−x )dx = ∫_0 ^( 1) {−(1/x^2 )ln(1−x).Σ_(n=1) (x^( n+1) /(n+1))}dx = ∫_0 ^( 1) {((−ln(1−x))/x^( 2) )Σ_(n=2) ^∞ (x^( n) /n)}dx = ∫_0 ^( 1) ((−ln(1−x))/x^( 2) ) {−x +Σ_(n=1) ^∞ (x^( n) /n) }dx = −li_( 2) ( 1) +[ ∫_0 ^( 1) ((ln^( 2) ( 1−x ))/x^( 2) )dx=_(derived) ^(earlier) (π^( 2) /3) ] = −(π^( 2) /6) + (π^( 2) /3) = (( π^( 2) )/6) = ζ (2) ■ m.n](https://www.tinkutara.com/question/Q166916.png)
$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\Omega=\:\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\:{H}_{\:{n}} }{{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)}\:= \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:−−−−−− \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\Omega\:=\:\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}−\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}\:\int_{\mathrm{0}\:} ^{\:\mathrm{1}} {x}^{\:{n}−\mathrm{1}} {ln}\left(\mathrm{1}−{x}\:\right){dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \left\{−\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }{ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right).\underset{{n}=\mathrm{1}} {\sum}\frac{{x}^{\:{n}+\mathrm{1}} }{{n}+\mathrm{1}}\right\}{dx} \\ $$$$\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \left\{\frac{−{ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right)}{{x}^{\:\mathrm{2}} }\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{\:{n}} }{{n}}\right\}{dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{−{ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right)}{{x}^{\:\mathrm{2}} }\:\left\{−{x}\:+\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{\:{n}} }{{n}}\:\right\}{dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:−{li}_{\:\mathrm{2}} \left(\:\mathrm{1}\right)\:+\left[\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{{ln}^{\:\mathrm{2}} \left(\:\mathrm{1}−{x}\:\right)}{{x}^{\:\mathrm{2}} }{dx}\underset{{derived}} {\overset{{earlier}} {=}}\:\frac{\pi^{\:\mathrm{2}} }{\mathrm{3}}\:\right] \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:−\frac{\pi^{\:\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}\:+\:\frac{\pi^{\:\mathrm{2}} }{\mathrm{3}}\:=\:\frac{\:\pi^{\:\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}\:=\:\zeta\:\left(\mathrm{2}\right)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\blacksquare\:{m}.{n} \\ $$