Question Number 166160 by cortano1 last updated on 14/Feb/22
$$\:\:\:\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\underset{\mathrm{m}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{m}^{\mathrm{2}} \mathrm{n}+\mathrm{mn}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2mn}}=? \\ $$
Answered by Jamshidbek last updated on 14/Feb/22
Commented by amin96 last updated on 14/Feb/22
$$\boldsymbol{\mathrm{bravooo}}\:\boldsymbol{\mathrm{sir}} \\ $$
Answered by cortano1 last updated on 14/Feb/22
$$\:\mathrm{S}=\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\underset{\mathrm{m}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}.\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{m}\left(\mathrm{m}+\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)} \\ $$$$\:=\:\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\underset{\mathrm{m}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)}.\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{m}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{m}+\mathrm{n}+\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\:=\:\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+…+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\:=\:\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{2}}\right)\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+…+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\left[\:\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+…+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{2}}\right)−\underset{\mathrm{n}=\mathrm{3}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+…+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\right)\right. \\ $$$$\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[\:\frac{\mathrm{23}}{\mathrm{8}}+\underset{\mathrm{n}=\mathrm{3}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{2}}\right)\right. \\ $$$$\:=\:\frac{\mathrm{23}}{\mathrm{16}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{\mathrm{n}=\mathrm{3}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)}\right) \\ $$$$\:=\frac{\mathrm{23}}{\mathrm{16}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[\:\underset{\mathrm{n}=\mathrm{3}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\right)\:+\underset{\mathrm{n}=\mathrm{3}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{2}}\right)\right] \\ $$$$\:=\frac{\mathrm{23}}{\mathrm{16}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)\right]=\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{4}} \\ $$
Answered by qaz last updated on 14/Feb/22
$$\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\underset{\mathrm{m}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{nm}^{\mathrm{2}} +\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \mathrm{m}+\mathrm{2nm}} \\ $$$$=\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\underset{\mathrm{m}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{nm}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{m}+\mathrm{1}} \mathrm{dx} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{xln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \mathrm{xdx} \\ $$$$=\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\mid_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} −\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)\mathrm{lnxdx} \\ $$$$=\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}\right)\mathrm{lnx}\mid_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} −\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\mathrm{2}\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\mid_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{4}} \\ $$