Question Number 111428 by Dwaipayan Shikari last updated on 03/Sep/20
$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{n}^{\mathrm{3}} }{{n}!} \\ $$
Commented by Dwaipayan Shikari last updated on 03/Sep/20
$$ \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{n}^{\mathrm{3}} }{{n}!}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{2}!}+\frac{\mathrm{3}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}!}+… \\ $$$$=\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}!}+\frac{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}!}+\frac{\mathrm{4}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}!}+… \\ $$$$=\mathrm{1}+\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{{n}!}\:\:\left[\overset{\infty} {\sum}\frac{{n}^{\mathrm{2}} }{{n}!}=\frac{\mathrm{1}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}!}+\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}!}+…=\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{1}!}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}!}+…=\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}!}+..\right)+\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}!}+..\right)\right. \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{2}{e} \\ $$$$=\mathrm{1}+\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{n}^{\mathrm{2}} }{{n}!}+\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{2}{n}}{{n}!}+\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}!}\:\:\:\:\left[\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{2}{n}}{{n}!}=\mathrm{2}{e}\:\:,\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}!}={e}−\mathrm{1}\right] \\ $$$$=\mathrm{1}+\mathrm{2}{e}+\mathrm{2}{e}+{e}−\mathrm{1} \\ $$$$=\mathrm{5}{e} \\ $$