Question Number 123067 by Khalmohmmad last updated on 22/Nov/20
$$\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\frac{\mathrm{2}}{{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}=? \\ $$
Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 22/Nov/20
$$\mathrm{2}\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}=\overset{\infty} {\sum}\frac{\mathrm{1}}{{n}−\mathrm{1}}−\overset{\infty} {\sum}\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}=\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+..\right)−\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+..\right)=\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}} \\ $$