Question Number 184858 by SANOGO last updated on 12/Jan/23
$$\underset{{n}={o}} {\overset{+{oo}} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} {x}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{4}{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} \\ $$
Answered by qaz last updated on 14/Jan/23
$${y}=\Sigma\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{\mathrm{4}{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\:{x}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} \:\:\:\:\:\: \\ $$$${y}'=\Sigma\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} {x}^{\mathrm{2}{n}} }{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}}={x}\Sigma\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} {x}^{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}} \\ $$$${y}''=\Sigma\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} {x}^{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}}+{x}\Sigma\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} {x}^{\mathrm{2}{n}−\mathrm{2}} =\frac{{y}'}{{x}}+\frac{\mathrm{1}}{{x}\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} \right)} \\ $$$$\Rightarrow{y}'={C}_{\mathrm{1}} {x}−\mathrm{1}−{x}\mathrm{arctan}\:{x} \\ $$$$\Rightarrow{y}={C}_{\mathrm{1}} {x}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{arctan}\:{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{arctan}\:{x}+{C}_{\mathrm{2}} \\ $$$${y}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0}\:\:\:\:{y}\left(\mathrm{0}\right)'=−\mathrm{1}\:\:\:\:\Rightarrow{C}_{\mathrm{1}} =\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\:{C}_{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow{y}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{arctan}\:{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{arctan}\:{x} \\ $$
Commented by SANOGO last updated on 14/Jan/23
$${thank}\:{you} \\ $$