Question Number 122159 by mnjuly1970 last updated on 14/Nov/20
$$\:\:\:\:\:…\:{nice}\:\:{calculus}… \\ $$$$\:\:\:{prove}\:\:{that}:: \\ $$$$\Omega=\int_{\mathrm{0}} ^{\:\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \left\{{tan}^{−\mathrm{1}} \left({ptan}\left({x}\right)\right)−{tan}^{−\mathrm{1}} \left({qtan}\left({x}\right)\right)\right\}\left({tan}\left({x}\right)+{cot}\left({x}\right)\right){dx} \\ $$$$=\frac{\pi}{\mathrm{2}}\:{log}\left(\frac{{p}}{{q}}\right)\:\:\:\left(\:\:\:\:{p}\:,\:{q}\:>\mathrm{0}\:\:\:\right) \\ $$$$\:\:\:\:{m}.{n}. \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 14/Nov/20
$$\Omega\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \left(\mathrm{arctan}\left(\mathrm{ptanx}\right)\mathrm{dx}−\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{arctan}\left(\mathrm{qtanx}\right)\mathrm{dx}\right. \\ $$$$=\mathrm{A}_{\mathrm{p}} −\mathrm{A}_{\mathrm{q}} \\ $$$$\mathrm{A}_{\mathrm{p}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{arctan}\left(\mathrm{ptanx}\right)\mathrm{dx}\:=_{\mathrm{tanx}=\mathrm{t}} \:\:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{arctan}\left(\mathrm{pt}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt}\:=\mathrm{f}\left(\mathrm{p}\right) \\ $$$$\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{p}\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{t}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{p}^{\mathrm{2}} \mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)}\mathrm{dt}\:=_{\mathrm{pt}=\mathrm{x}} \:\:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\:\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{p}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{p}^{\mathrm{2}} }\right)}\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{p}} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\:\frac{\mathrm{xdx}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{p}^{\mathrm{2}} \right)}\:\mathrm{let}\:\mathrm{decompose}\:\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{x}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{p}^{\mathrm{2}} \right)} \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{ax}+\mathrm{b}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{cx}\:+\mathrm{d}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{p}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{F}\left(−\mathrm{x}\right)=−\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:\Rightarrow\frac{−\mathrm{ax}+\mathrm{b}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:+\frac{−\mathrm{cx}+\mathrm{d}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{p}^{\mathrm{2}} }\:=\frac{−\mathrm{ax}−\mathrm{b}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}+\frac{−\mathrm{cx}−\mathrm{d}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{p}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{b}=\mathrm{d}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{ax}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{cx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{p}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow+\infty} \mathrm{xF}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{0}\:=\mathrm{a}+\mathrm{c}\:\Rightarrow\mathrm{c}=−\mathrm{a}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{ax}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{ax}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{p}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{1}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{p}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}\:=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{p}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:\Rightarrow\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{p}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\right)\mathrm{a}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{p}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\:\Rightarrow \\ $$$$\frac{\mathrm{p}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{p}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}\mathrm{a}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{p}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}\:\Rightarrow\mathrm{a}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{p}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\:\Rightarrow\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{p}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\left\{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{p}^{\mathrm{2}} }\right\}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}^{,} \left(\mathrm{p}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{p}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \left\{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{p}^{\mathrm{2}} }\right\}\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{p}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[\mathrm{ln}\mid\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{p}^{\mathrm{2}} }\mid\right]_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{p}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}\left(−\mathrm{2lnp}\right)\:=−\frac{\mathrm{lnp}}{\mathrm{p}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\:=\frac{\mathrm{lnp}}{\mathrm{1}−\mathrm{p}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{f}\left(\mathrm{p}\right)\:=\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{p}} \:\:\frac{\mathrm{lnt}}{\mathrm{1}−\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt}\:+\mathrm{c} \\ $$$$\mathrm{c}\:=\mathrm{f}\left(\mathrm{1}\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{arctant}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\:=\left[\mathrm{arctan}^{\mathrm{2}} \mathrm{t}\right]_{\mathrm{0}} ^{\infty} −\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{arctant}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{2c}\:=\left(\frac{\pi}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} \:=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}\:\Rightarrow\mathrm{c}\:=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{8}}\:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{p}\right)\:=\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{p}} \:\frac{\mathrm{lnt}}{\mathrm{1}−\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt}\:+\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{8}} \\ $$$$\mathrm{if}\:\mathrm{p}<\mathrm{1}\:\Rightarrow\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{p}} \:\frac{\mathrm{lnt}}{\mathrm{1}−\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt}\:=−\int_{\mathrm{p}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{lnt}}{\mathrm{1}−\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\:=−\int_{\mathrm{p}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{lnt}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{t}^{\mathrm{2n}} \:\mathrm{dt} \\ $$$$=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\int_{\mathrm{p}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{t}^{\mathrm{2n}} \:\mathrm{lnt}\:\mathrm{dt}\:\:=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{u}_{\mathrm{n}} \\ $$$$\mathrm{u}_{\mathrm{n}} =\left[\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\mathrm{lnt}\right]_{\mathrm{p}} ^{\mathrm{1}} −\int_{\mathrm{p}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}}\:=−\frac{\mathrm{p}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\int_{\mathrm{p}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{t}^{\mathrm{2n}} \mathrm{dt} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{p}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\left[\mathrm{t}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} \right]_{\mathrm{p}} ^{\mathrm{1}} \:=−\frac{\mathrm{p}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\left(\mathrm{1}−\mathrm{p}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} \right)\:\Rightarrow \\ $$$$\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{p}} \:\frac{\mathrm{lnt}}{\mathrm{1}−\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{p}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\:+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}−\mathrm{p}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} }{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }….\mathrm{becontinued}… \\ $$
Answered by mindispower last updated on 14/Nov/20
$${not}\:{true}\:{sir} \\ $$$${q}=\mathrm{1}\Rightarrow\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} {tan}^{−} \left({ptan}\left({x}\right)\right)−{xdx}=\frac{\pi}{\mathrm{2}}{ln}\left({p}\right) \\ $$$${tak}\:{p}\rightarrow\infty\Rightarrow \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} {tan}^{−} \left({ptan}\left({x}\right)\right)−{x}\:\:{dx}={I}\rightarrow+\infty \\ $$$${but}\:{tan}^{−} \left({z}\right)<\frac{\pi}{\mathrm{2}}\Rightarrow \\ $$$${I}\leqslant\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \left(\frac{\pi}{\mathrm{2}}−{x}\right){dx}=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{8}} \\ $$$$ \\ $$
Commented by mnjuly1970 last updated on 14/Nov/20
$${thank}\:{you} \\ $$$$\:{corrected} \\ $$
Answered by mindispower last updated on 14/Nov/20
$$\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \left\{{tan}^{−} \left({t}.{tan}\left({x}\right)\right)\right\}\left\{{tan}\left({x}\right)+{cot}\left({x}\right)\right\}{dx}={f}\left({t}\right) \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \left\{{tan}^{−} \left({t}.{tan}\left({x}\right)\right)\left\{\frac{\mathrm{1}+{tan}^{\mathrm{2}} \left({x}\right)}{{tan}\left({x}\right)}\right\}{dx},{tan}\left({x}\right)={s}\right. \\ $$$$\Leftrightarrow \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} {tan}^{−} \left({ts}\right).\frac{{ds}}{{s}} \\ $$$${f}\left({p}\right)−{f}\left({q}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \left({tan}^{−} \left({ps}\right)−{tan}^{−} \left({qs}\right)\right)\frac{{ds}}{{s}} \\ $$$$=\left[\left({tan}^{−} \left({ps}\right)−{tan}^{−} \left({qs}\right)\right){ln}\left({x}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\infty} −\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \left\{{p}\frac{{ln}\left({s}\right)}{\mathrm{1}+{p}^{\mathrm{2}} {s}\mathrm{2}}−{q}\frac{{ln}\left({s}\right)}{\mathrm{1}+{q}^{\mathrm{2}} {s}^{\mathrm{2}} }\right\}{ds} \\ $$$${tan}^{−} \left({ps}\right)−{tan}^{−} \left({qs}\right)=\left(\frac{\pi}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{{ps}}+{o}\left(\frac{\mathrm{1}}{{s}}\right)−\left(\frac{\pi}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{{qs}}+{o}\left(\frac{\mathrm{1}}{{s}}\right)\right)\right. \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{{s}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{q}}−\frac{\mathrm{1}}{{p}}\right)+{o}\left(\frac{\mathrm{1}}{{s}}\right)\Rightarrow\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}{ln}\left({x}\right)\left\{{tan}^{−} \left({ps}\right)−{tan}^{−} \left({qs}\right)\right\}=\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow \\ $$$${f}\left({p}\right)−{f}\left({q}\right)=−\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{{pln}\left({s}\right)}{\mathrm{1}+{p}^{\mathrm{2}} {s}\mathrm{2}}−\frac{{qln}\left({s}\right)}{\mathrm{1}+{q}^{\mathrm{2}} {s}^{\mathrm{2}} }{ds}=−\left({g}\left({p}\right)−{g}\left({q}\right)\right) \\ $$$${g}\left({z}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{{zln}\left({x}\right)}{\mathrm{1}+{z}^{\mathrm{2}} {x}^{\mathrm{2}} }{dx},{z}>\mathrm{0}\:{withe}\:{Quation} \\ $$$$\mathrm{l}{let}\:{zx}={t} \\ $$$$\Leftrightarrow{g}\left({z}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{{ln}\left({t}\right)−{ln}\left({z}\right)}{\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} }{dt} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{{ln}\left({t}\right)}{\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} }{dt}_{=\mathrm{0}} −{ln}\left({z}\right)\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{{dt}}{\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=−{ln}\left({z}\right)\left[\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left({t}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\infty} =−\frac{\pi}{\mathrm{2}}{ln}\left({z}\right) \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \left\{\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left({ptan}\left({x}\right)\right)−{tan}^{−} \left({qtan}\left({x}\right)\right\}\left({tan}\left({x}\right)+{cot}\left({x}\right)\right){dx}\right. \\ $$$$=−{g}\left({p}\right)+{g}\left({q}\right)=\frac{\pi}{\mathrm{2}}{ln}\left({p}\right)−\frac{\pi}{\mathrm{2}}{ln}\left({q}\right)=\frac{\pi}{\mathrm{2}}{ln}\left(\frac{{p}}{{q}}\right) \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$