Question Number 123547 by mnjuly1970 last updated on 26/Nov/20
$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:….{nice}\:\:\:\:\:{calculus}…. \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{prove}\:\:{that}:::: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{I}:=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \:\left\{\frac{{log}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−{x}\right)}{{x}}\right\}{dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\frac{\zeta\left(\mathrm{3}\right)}{\mathrm{4}}\:−\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}{log}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{2}\right)\checkmark \\ $$$$ \\ $$
Answered by mnjuly1970 last updated on 26/Nov/20
$$\:\:\:\:\:\:{solution}: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:{special}\:{values}:: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{i}::\:{li}_{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\left[\:\underset{{try}\:{it}.} {\overset{{why}??} {=}}\:\right]\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{log}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}\right)\:\checkmark \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{ii}::\:{li}_{\mathrm{3}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\left[\:\underset{{prove}\:{it}.} {\overset{{why}??} {=}}\:\right]\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{8}}\zeta\left(\mathrm{3}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}{log}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{2}\right)−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}{log}\left(\mathrm{2}\right)\:\checkmark \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{iii}::\:{li}_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{1}\right)\:=\zeta\left(\mathrm{3}\right)\checkmark \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{I}\overset{\mathrm{1}−{x}={t}} {=}\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{{log}^{\mathrm{2}} \left({t}\right)}{\mathrm{1}−{t}}{dt}\overset{{i}.{b}.{p}} {=}\left[−{log}\left(\mathrm{1}−{t}\right){log}^{\mathrm{2}} \left({t}\right)\right]_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} ^{\mathrm{1}} +\mathrm{2}\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{{log}\left({t}\right){log}\left(\mathrm{1}−{t}\right)}{{t}}{dt}\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:={log}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right){log}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)+\mathrm{2}\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} ^{\:\mathrm{1}} {log}\left({t}\right){d}\left(−{li}_{\mathrm{2}} \left({t}\right)\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:=−{log}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{2}\left\{\left[{log}\left({t}\right){li}_{\mathrm{2}} \left({t}\right)\right]_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:} ^{\mathrm{1}} +\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{{li}_{\mathrm{2}} \left({t}\right)}{{t}}{dt}\right\} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:=−{log}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{2}\left[{log}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right){li}_{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\right]+\mathrm{2}{li}_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{1}\right)−\mathrm{2}{li}_{\mathrm{3}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:=−{log}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{2}{log}\left(\mathrm{2}\right)\left(\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{log}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}\right)\right)\underset{\looparrowleft} {+} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\overset{\looparrowright} {−}\:\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{4}}\zeta\left(\mathrm{3}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}{log}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{2}\right)+\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}{log}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{2}\zeta\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\zeta\:\left(\mathrm{3}\:\right)}{\mathrm{4}}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}{log}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{2}\right)\:\:\checkmark\:\checkmark \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{nice}.{calculus}.\:{m}.{n}.{july}.\mathrm{1970} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 26/Nov/20
$$\mathrm{I}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \frac{\mathrm{log}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}}\mathrm{dx}\:\Rightarrow\mathrm{I}\:=_{\mathrm{x}=\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{log}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{2}}\right)}{\mathrm{t}}\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{2}} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{log}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{2}}\right)}{\mathrm{t}}\:\mathrm{dt}\:\:\:\mathrm{let}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{log}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{at}\right)}{\mathrm{t}}\mathrm{dt}\left[\mathrm{with}\:\mathrm{0}<\mathrm{a}<\mathrm{1}\right. \\ $$$$\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{a}\right)\:=\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{−\mathrm{t}}{\mathrm{1}−\mathrm{at}}\frac{\mathrm{log}\left(\mathrm{1}−\mathrm{at}\right)}{\mathrm{t}}\mathrm{dt}\:=−\mathrm{2}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{log}\left(\mathrm{1}−\mathrm{at}\right)}{\mathrm{1}−\mathrm{at}}\mathrm{dt} \\ $$$$=−\mathrm{2}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{log}\left(\mathrm{1}−\mathrm{at}\right)\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{a}^{\mathrm{n}} \:\mathrm{t}^{\mathrm{n}} \:\mathrm{dt} \\ $$$$=−\mathrm{2}\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{a}^{\mathrm{n}} \:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{t}^{\mathrm{n}} \mathrm{log}\left(\mathrm{1}−\mathrm{at}\right)\mathrm{dt}\:=−\mathrm{2}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{a}^{\mathrm{n}} \:\mathrm{U}_{\mathrm{n}} \\ $$$$\mathrm{U}_{\mathrm{n}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{t}^{\mathrm{n}} \:\mathrm{log}\left(\mathrm{1}−\mathrm{at}\right)\mathrm{dt}\:=\left[\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\mathrm{log}\left(\mathrm{1}−\mathrm{at}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:=\frac{\mathrm{log}\left(\mathrm{1}−\mathrm{a}\right)}{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}×\frac{−\mathrm{a}}{\mathrm{1}−\mathrm{at}}\mathrm{dt}\:=\frac{\mathrm{log}\left(\mathrm{1}−\mathrm{a}\right)}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{1}−\mathrm{at}}\mathrm{dt}\:\mathrm{and} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{1}−\mathrm{at}}\mathrm{dt}\:\:=_{\mathrm{1}−\mathrm{at}=\mathrm{z}} \:\:\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{1}−\mathrm{a}} \:\frac{\left(\frac{\mathrm{1}−\mathrm{z}}{\mathrm{a}}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{z}}\left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}}\right)\mathrm{dz} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}^{\mathrm{n}+\mathrm{2}} }\int_{\mathrm{1}−\mathrm{a}} ^{\mathrm{a}} \:\:\frac{\left(\mathrm{1}−\mathrm{z}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{z}}\mathrm{dz}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}^{\mathrm{n}+\mathrm{2}} }\int_{\mathrm{1}−\mathrm{a}} ^{\mathrm{a}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{z}}\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \mathrm{C}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} ^{\mathrm{k}} \left(−\mathrm{z}\right)^{\mathrm{k}} \mathrm{dz} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}^{\mathrm{n}+\mathrm{2}} }\int_{\mathrm{1}−\mathrm{a}} ^{\mathrm{a}} \:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \mathrm{C}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} ^{\mathrm{k}} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} \:\mathrm{z}^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} \:\mathrm{dz} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}^{\mathrm{n}+\mathrm{2}} }\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} ^{\mathrm{k}} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} \:\left[\frac{\mathrm{z}^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}}\right]_{\mathrm{1}−\mathrm{a}} ^{\mathrm{a}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}^{\mathrm{n}+\mathrm{2}} }\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} ^{\mathrm{k}} \frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}}\left\{\mathrm{a}^{\mathrm{k}} −\left(\mathrm{1}−\mathrm{a}\right)^{\mathrm{k}} \right\}….\mathrm{be}\:\mathrm{continued}… \\ $$