Question Number 123687 by mnjuly1970 last updated on 27/Nov/20
$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:…{nice}\:\:{calculus}.. \\ $$$$\:{prove}\:{that}::\:\:\:\:{lim}_{{x}\rightarrow\mathrm{0}} \left(\frac{\mathrm{2}\phi\left({x}\right)}{{x}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}{x}}\right)\:\overset{???} {=}\zeta\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:{where} \\ $$$$\:\:\:\:\:\phi\left({x}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{\left({t}^{{x}} −\mathrm{1}\right)\left({ln}\left(\mathrm{1}−{t}\right)\right)}{{tln}\left({t}\right)}{dt} \\ $$
Answered by mnjuly1970 last updated on 28/Nov/20
$${solution}:\:\:\phi\left({x}\right)=−\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \left\{\frac{{t}^{{x}} −\mathrm{1}}{{ln}\left({t}\right)}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{t}^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}}\right\}{dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=−\underset{{n}=\mathrm{1}\:} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}}\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{{t}^{{x}+{n}−\mathrm{1}} −{t}^{{n}−\mathrm{1}} }{{ln}\left({t}\right)}{dt} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=−\underset{{n}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{\mathrm{1}}{{n}}\left[{ln}\left({x}+{n}\right)−{ln}\left({n}\right)\right] \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:=−\underset{{n}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{\mathrm{1}}{{n}}{ln}\left(\frac{{x}+{n}}{{n}}\right)=−\underset{{n}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{\mathrm{1}}{{n}}{ln}\left(\mathrm{1}+\frac{{x}}{{n}}\right) \\ $$$$=−\underset{{n}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{\mathrm{1}}{{n}}\underset{{m}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{\left(\frac{−{x}}{{n}}\right)^{{m}} }{{m}}=\underset{{m}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{\left(−{x}\right)^{{m}} }{{m}}\underset{{n}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{\mathrm{1}}{{n}^{{m}+\mathrm{1}} } \\ $$$$\therefore\:\phi\left({x}\right)=\underset{{m}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{\left(−{x}\right)^{{m}} \:\zeta\left({m}+\mathrm{1}\right)}{{m}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\left(−{x}\right)^{\mathrm{1}} }{\mathrm{1}}\:\zeta\left(\mathrm{2}\right)+\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\zeta\left(\mathrm{3}\right)−\frac{{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}\zeta\left(\mathrm{4}\right)+… \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{2}\phi\left({x}\right)}{{x}^{\mathrm{2}} }=\zeta\left(\mathrm{3}\right)−\frac{\mathrm{2}\zeta\left(\mathrm{2}\right)}{{x}}−\frac{\mathrm{2}{x}}{\mathrm{3}}\zeta\left(\mathrm{4}\right)+…\: \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}\frac{\phi\left({x}\right)}{{x}^{\mathrm{2}} }+\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}{x}}=\zeta\left(\mathrm{3}\right)−\frac{\mathrm{2}{x}}{\mathrm{3}}\phi\zeta\left(\mathrm{4}\right)+… \\ $$$${limit}\:{from}\:{both}\:\:{sides}\:\:{as}\:{x}\rightarrow\mathrm{0}… \\ $$$$\:{lim}_{{x}\rightarrow\mathrm{0}} \left(\frac{\mathrm{2}\phi\left({x}\right)}{{x}^{\mathrm{2}} }+\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}{x}}\right)=\zeta\left(\mathrm{3}\right)\:\checkmark\checkmark \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{m}.{n}. \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$