Question Number 115302 by mnjuly1970 last updated on 24/Sep/20
$$\:\:\:\:\:\:\:…\:{nice}\:\:{math}… \\ $$$$\:\:\:\:\:{find} \\ $$$$\:\:\:\:{lim}_{{n}\rightarrow\infty\:\:} \left\{\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\int_{{k}−\mathrm{1}} ^{\:\:{k}} {tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{{nx}−{nk}}{{kx}+{n}^{\mathrm{2}} }\right){dx}\right\} \\ $$$$\: \\ $$
Answered by Olaf last updated on 24/Sep/20
$$\mathrm{arctan}{a}−\mathrm{arctan}{b}\:=\:\mathrm{arctan}\left(\frac{{a}−{b}}{\mathrm{1}+{ab}}\right) \\ $$$$\mathrm{Let}\:{a}\:=\:\frac{{x}}{{n}}\:\mathrm{and}\:{b}\:=\:\frac{{k}}{{n}} \\ $$$$\mathrm{arctan}\frac{{x}}{{n}}−\mathrm{arctan}\frac{{k}}{{n}}\:=\:\mathrm{arctan}\left(\frac{\frac{{x}}{{n}}−\frac{{k}}{{n}}}{\mathrm{1}+\frac{{xk}}{{n}^{\mathrm{2}} }}\right) \\ $$$$\mathrm{arctan}\frac{{x}}{{n}}−\mathrm{arctan}\frac{{k}}{{n}}\:=\:\mathrm{arctan}\left(\frac{{nx}−{nk}}{{kx}+{n}^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$$$\mathrm{I}_{{k}} \left({x}\right)\:=\:\int_{{k}−\mathrm{1}} ^{{k}} \mathrm{arctan}\left(\frac{{nx}−{nk}}{{kx}+{n}^{\mathrm{2}} }\right){dx} \\ $$$$\mathrm{I}_{{k}} \left({x}\right)\:=\:\int_{{k}−\mathrm{1}} ^{{k}} \left[\mathrm{arct}{an}\left(\frac{{x}}{{n}}\right)−\mathrm{arctan}\left(\frac{{k}}{{n}}\right)\right]{dx} \\ $$$$\mathrm{I}_{{k}} \left({x}\right)\:=\:\left[{x}\mathrm{arct}{an}\left(\frac{{x}}{{n}}\right)\right]_{{k}−\mathrm{1}} ^{{k}} … \\ $$$$−\int_{{k}−\mathrm{1}} ^{{k}} {x}\frac{\frac{\mathrm{1}}{{n}}}{\mathrm{1}+\left(\frac{{x}}{{n}}\right)^{\mathrm{2}} }{dx}−\mathrm{arctan}\frac{{k}}{{n}} \\ $$$$\mathrm{I}_{{k}} \left({x}\right)\:=\:{k}\mathrm{arct}{an}\frac{{k}}{{n}}−\left({k}−\mathrm{1}\right)\mathrm{arctan}\left(\frac{{k}−\mathrm{1}}{{n}}\right)… \\ $$$$−\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\left(\frac{{x}}{{n}}\right)^{\mathrm{2}} \right)\right]_{{k}−\mathrm{1}} ^{{k}} −\mathrm{arctan}\frac{{k}}{{n}} \\ $$$$\mathrm{I}_{{k}} \left({x}\right)\:=\:{k}\mathrm{arctan}\frac{{k}}{{n}}−\left({k}−\mathrm{1}\right)\mathrm{arctan}\left(\frac{{k}−\mathrm{1}}{{n}}\right)… \\ $$$$−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\frac{\mathrm{1}+\left(\frac{{k}}{{n}}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}+\left(\frac{{k}−\mathrm{1}}{{n}}\right)^{\mathrm{2}} }−\mathrm{arctan}\frac{{k}}{{n}} \\ $$$$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\mathrm{I}_{{k}} \left({x}\right)\:=\:{n}\mathrm{arctan}\left(\mathrm{1}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln2}−\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\mathrm{arctan}\left(\frac{{k}}{{n}}\right) \\ $$$$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\mathrm{I}_{{k}} \left({x}\right)\:=\:\frac{\pi}{\mathrm{4}}{n}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln2}−\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\mathrm{arctan}\left(\frac{{k}}{{n}}\right) \\ $$$${to}\:{be}\:{continued}… \\ $$$$ \\ $$