Question Number 117223 by mnjuly1970 last updated on 10/Oct/20
$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:…\:{nice}\:\:{mathematics}… \\ $$$$\:\:{proof}\::: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Omega\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\pi}\int_{\mathrm{0}\:} ^{\:\infty} \left[{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)\right]^{\mathrm{2}} {dx}={ln}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\:\:\:\:…\:\:{m}.{n}.\mathrm{1970}… \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 10/Oct/20
$$\:=\frac{\mathrm{1}}{\pi}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{arctan}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)\mathrm{dx}\:\:\mathrm{by}\:\mathrm{parts}\: \\ $$$$\pi\mathrm{I}\:=\left[\mathrm{x}\:\mathrm{arctan}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\infty} −\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{x}.\mathrm{2arctan}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right).×\frac{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}\mathrm{dx} \\ $$$$=\mathrm{2}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{x}\:\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{2x}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\left[\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\infty} −\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right).\frac{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}\mathrm{dx} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:\:=_{\mathrm{x}=\mathrm{tan}\theta} \:\:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \theta\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \theta}\left(\mathrm{1}+\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \theta\right)\mathrm{d}\theta \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \theta}\right)\mathrm{d}\theta\:=−\mathrm{2}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{cos}\theta\right)\mathrm{d}\theta\:=−\mathrm{2}\left(−\frac{\pi}{\mathrm{2}}\mathrm{ln2}\right)\:=\pi\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\Rightarrow\pi\mathrm{I}\:=\pi\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)\:\Rightarrow\mathrm{I}\:=\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$
Commented by mnjuly1970 last updated on 10/Oct/20
$${thank}\:{you}\:{very}\:{much}\:{mr} \\ $$$${max}\:.{nice}\:{solution}\:{as} \\ $$$${always}.. \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 10/Oct/20
$$\mathrm{you}\:\mathrm{are}\:\mathrm{welcome} \\ $$