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Obtain-a-maclaurin-expansion-for-a-e-cos-x-b-e-cos-2-x-

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Question Number 83296 by Rio Michael last updated on 29/Feb/20
Obtain a maclaurin expansion for a) e^(cos x ) b) e^(cos^2 x)
$$\mathrm{Obtain}\:\mathrm{a}\:\mathrm{maclaurin}\:\mathrm{expansion}\:\mathrm{for}\: \\ $$$$\left.\mathrm{a}\left.\right)\:\mathrm{e}^{\mathrm{cos}\:{x}\:} \:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{b}\right)\:\mathrm{e}^{\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} {x}} \\ $$
Commented by niroj last updated on 29/Feb/20
(a). e^(cos x) let, f(x)=e^(cos x) , f_0 (0)=e^(cos 0) =e f_1 (x)=e^(cos x) .(−sinx), f_1 (0)=0 f_2 (x)= sin^2 x.e^(cos x) −cos x.e^(cos x) f_2 (0)= −e f_3 (x)= 2sin x cos x.e^(cos x) −sin^2 x.e^(cos x) .sinx+sin x.e^(cos x) +cos x.e^(cos x) .sin x f_3 (0)=0 we know maclaurine′s series.. f(x)= f_0 (0)+ (x/(1!))f_1 (0)+(x^2 /(2!))f_2 (0)+(x^3 /(3!))f_3 (0)+... e^(cos x) = e+(x/(1×1))(0)+(x^2 /(2×1))(−e)+(x^3 /(3×2×1))(0)+... e^(cos x) = e−x^2 e+....
$$\: \\ $$$$\:\:\left(\mathrm{a}\right).\:\:\mathrm{e}^{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}} \\ $$$$\:\mathrm{let},\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{e}^{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}} \:,\:\mathrm{f}_{\mathrm{0}} \left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{e}^{\mathrm{cos}\:\mathrm{0}} =\mathrm{e} \\ $$$$\:\:\mathrm{f}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{e}^{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}} .\left(−\mathrm{sinx}\right),\:\mathrm{f}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\:\mathrm{f}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)=\:\:\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}.\mathrm{e}^{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}} −\mathrm{cos}\:\mathrm{x}.\mathrm{e}^{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}} \\ $$$$\:\:\mathrm{f}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{0}\right)=\:−\mathrm{e} \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{f}_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{x}\right)=\:\mathrm{2sin}\:\mathrm{x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{x}.\mathrm{e}^{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}} −\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}.\mathrm{e}^{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}} .\mathrm{sinx}+\mathrm{sin}\:\mathrm{x}.\mathrm{e}^{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}} +\mathrm{cos}\:\mathrm{x}.\mathrm{e}^{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}} .\mathrm{sin}\:\mathrm{x} \\ $$$$\:\:\mathrm{f}_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{know}\:\mathrm{maclaurine}'\mathrm{s}\:\mathrm{series}.. \\ $$$$\:\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\:\mathrm{f}_{\mathrm{0}} \left(\mathrm{0}\right)+\:\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{1}!}\mathrm{f}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{0}\right)+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}!}\mathrm{f}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{0}\right)+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}!}\mathrm{f}_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{0}\right)+… \\ $$$$\:\mathrm{e}^{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}} =\:\mathrm{e}+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{1}×\mathrm{1}}\left(\mathrm{0}\right)+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}×\mathrm{1}}\left(−\mathrm{e}\right)+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}×\mathrm{2}×\mathrm{1}}\left(\mathrm{0}\right)+… \\ $$$$\:\mathrm{e}^{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}} =\:\mathrm{e}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{e}+…. \\ $$$$ \\ $$$$\:\: \\ $$$$ \\ $$
Commented by Rio Michael last updated on 29/Feb/20
thanks sir
$${thanks}\:{sir} \\ $$

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