On-souhaite-calculer-I-0-sint-t-dt-1-On-de-finit-la-fonction-F-x-0-e-tx-sint-t-dt-a-De-terminer-le-domaine-de-de-finition-de-f-sur-R-

Question Number 144738 by Ar Brandon last updated on 28/Jun/21

On souhaite calculer I = \int_{0}^{\infty} \frac{\sin t}{t} d t .

(1) On d \overset{´}{e f i n i t} la fonction F (x) = \int_{0}^{\infty} e^{- t x} \frac{\sin t}{t} d t .

(a) D \overset{´}{e t e r m i n e r} le domaine de d \overset{´}{e f i n i t i o n} de f sur R .

(b) Montrer que F est de classe C^{1} sur R_{+}^{*} et calculer F^{'} (x) .

(c) Limite de F en + \infty ? Cons \overset{´}{e q u e n c e} ?

(2) On note S i (t) = \int_{0}^{t} \frac{\sin u}{u} d u pour tout r \overset{´}{e e l} t .

(a) Montrer que G (x) = \int_{0}^{\infty} e^{- t x} S i (t) d t est d \overset{´}{e f i n i e} sur R_{+}^{*} .

(b) Montrer que x G (x) \to I quand x \to 0^{+} .

(c) Au moyen d^{'} une int \overset{´}{e g r a t i o n} par parties, montrer que F est continue en 0 .

(3) Calculer I .

Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 28/Jun/21

F (x) = \int_{0}^{\infty} e^{- t x} \frac{\sin (t)}{t} d x

F^{'} (x) = - \int_{0}^{\infty} e^{- t x} \sin (t) d t = - \frac{1}{x^{2} + 1}

F (x) = - \arctan (x) + C

F (\infty) = - \frac{π}{2} + C \Rightarrow 0 = - \frac{π}{2} + C \Rightarrow C = \frac{π}{2}

F (x) = \arctan (\frac{1}{x})

B u t x > 0 i f x = - X t h e n \int_{0}^{\infty} e^{t X} \frac{\sin (t)}{t} \to \infty

0 ⩽ x < \infty

Commented by Ar Brandon last updated on 02/Aug/21

Hello bro!!!