Question Number 109838 by mnjuly1970 last updated on 25/Aug/20
$$ \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\:{please}\:{prove}::: \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{1}−{x}}}{log}\left(\frac{{x}}{\mathrm{1}−{x}}\right){dx}\:=\mathrm{4}{log}\left(\mathrm{2}\right)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 25/Aug/20
$$\mathrm{I}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}}}\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\right)\mathrm{dx}\:\:\:\mathrm{changement}\:\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}}=\mathrm{t}\:\mathrm{give}\:\mathrm{1}−\mathrm{x}\:=\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{I}\:=−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{1}−\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\right)\left(−\mathrm{2t}\right)\mathrm{dt}\:=\mathrm{2}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\left(\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)−\mathrm{2ln}\left(\mathrm{t}\right)\right)\mathrm{dt} \\ $$$$=\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{dt}\:−\mathrm{4}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\: \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}\:=\left[\mathrm{tlnt}−\mathrm{t}\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:=−\mathrm{1} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{dt}\:=_{\mathrm{by}\:\mathrm{pafts}} \:\:\:\:\left[\left(\mathrm{t}−\mathrm{1}\right)\:\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} −\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\mathrm{t}−\mathrm{1}\right)×\frac{−\mathrm{2t}}{\mathrm{1}−\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt} \\ $$$$=−\mathrm{2}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{t}\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)}{\mathrm{1}−\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt}\:=−\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}}\:\mathrm{dt}\:=−\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{1}+\mathrm{t}−\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}}\:\mathrm{dt} \\ $$$$=−\mathrm{2}\:+\mathrm{2ln}\left(\mathrm{2}\right)\:\Rightarrow\mathrm{I}\:=−\mathrm{4}\:+\mathrm{4ln}\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{4}\left(−\mathrm{1}\right)\:=\mathrm{4ln}\left(\mathrm{2}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\bigstar\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}}}\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\right)\mathrm{dx}\:=\mathrm{4ln}\left(\mathrm{2}\right)\bigstar \\ $$$$ \\ $$
Commented by mnjuly1970 last updated on 26/Aug/20
$${thank}\:{you}\:{so}\:{much}\:. \\ $$$${excellent}^{\infty} \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 27/Aug/20
$$\mathrm{you}\:\mathrm{are}\:\mathrm{welcome} \\ $$