Question Number 19312 by Tinkutara last updated on 09/Aug/17
$$\mathrm{Product}\:\mathrm{of}\:{n},\:{n}^{\mathrm{th}} \:\mathrm{roots}\:\mathrm{of}\:\mathrm{unity} \\ $$$$=\:\mathrm{1}.\alpha.\alpha^{\mathrm{2}} .\alpha^{\mathrm{3}} \:…..\:\alpha^{{n}−\mathrm{1}} \:=\:\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{Why}?\:\mathrm{How}\:\mathrm{to}\:\mathrm{get}\:\mathrm{RHS}? \\ $$
Answered by ajfour last updated on 09/Aug/17
$$\mathrm{x}^{\mathrm{n}} −\mathrm{1}=\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}−\alpha\right)\left(\mathrm{x}−\alpha^{\mathrm{2}} \right)…\left(\mathrm{x}−\alpha^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \right) \\ $$$$\mathrm{comparing}\:\mathrm{constant}\:\mathrm{term}\:\mathrm{on} \\ $$$$\mathrm{each}\:\mathrm{side}: \\ $$$$−\mathrm{1}=\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \alpha^{\mathrm{1}+\mathrm{2}+….+\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{1}.\alpha.\alpha^{\mathrm{2}} .\alpha^{\mathrm{3}} …\alpha^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} =\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:. \\ $$$$ \\ $$
Commented by Tinkutara last updated on 09/Aug/17
$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{very}\:\mathrm{much}\:\mathrm{Sir}! \\ $$