Question Number 176164 by HeferH last updated on 14/Sep/22
$$\:{Proof}\:{that}\:: \\ $$$$\: \\ $$$$\:\sqrt{\frac{\mathrm{1}\:−\:\mathrm{cos}\:{x}}{\mathrm{1}\:+\:\mathrm{cos}\:{x}}}\:+\:\sqrt{\frac{\mathrm{1}\:+\:\mathrm{cos}\:{x}}{\mathrm{1}\:−\:\mathrm{cos}\:{x}}}\:=\:\mathrm{2}\:\centerdot\:\mathrm{cosec}\:{x} \\ $$$$\: \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 14/Sep/22
$$\:\sqrt{\frac{\mathrm{1}\:−\:\mathrm{cos}\:{x}}{\mathrm{1}\:+\:\mathrm{cos}\:{x}}}\:+\:\sqrt{\frac{\mathrm{1}\:+\:\mathrm{cos}\:{x}}{\mathrm{1}\:−\:\mathrm{cos}\:{x}}}\:=\:\mathrm{2}\:\centerdot\:\mathrm{cosec}\:{x} \\ $$$$\mathrm{LHS}:\frac{\sqrt{\mathrm{1}\:−\:\mathrm{cos}\:{x}}}{\:\sqrt{\mathrm{1}\:+\:\mathrm{cos}\:{x}}}+\frac{\sqrt{\mathrm{1}\:+\:\mathrm{cos}\:{x}}}{\:\sqrt{\mathrm{1}\:−\:\mathrm{cos}\:{x}}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{1}−\cancel{\mathrm{cos}\:{x}}+\mathrm{1}+\cancel{\mathrm{cos}\:{x}}}{\:\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} {x}}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{sin}\:{x}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{2}\centerdot\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{sin}\:{x}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{2cosec}\:{x}=\mathrm{RHS} \\ $$