Question Number 166373 by mnjuly1970 last updated on 19/Feb/22
$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{prove}\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\boldsymbol{\phi}=\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{\:{ln}^{\:\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−{x}^{\:\mathrm{2}} \right)\:}{{x}^{\:\mathrm{2}} }\:{dx}\:=\frac{\pi^{\:\mathrm{2}} }{\mathrm{3}}\:−\mathrm{4}{ln}^{\:\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:−−−\:\:{solution}\:\left({technical}\:{method}\right)\:−−− \\ $$$$\:\:\:\:\boldsymbol{\phi}=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} {ln}^{\:\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−{x}^{\:\mathrm{2}} \right){d}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\left[\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right){ln}^{\:\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−{x}^{\:\mathrm{2}} \right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} +\mathrm{4}\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)\frac{{xln}\left(\mathrm{1}−{x}^{\:\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{1}−{x}^{\:\mathrm{2}} }{dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:=\:−\mathrm{4}\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{{ln}\left(\mathrm{1}−{x}^{\:\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{1}+{x}}\:{dx}\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:=\:−\mathrm{4}\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{{ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right)}{\mathrm{1}+{x}}{dx}\:−\mathrm{4}\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{{ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right){dx}}{\mathrm{1}+{x}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:=\:−\mathrm{2}{ln}^{\:\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}\right)\:−\mathrm{4}\:\left(\:−\frac{\pi^{\:\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{ln}^{\:\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}\right)\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\therefore\:\:\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{\phi}=\:\frac{\pi^{\:\mathrm{2}} }{\mathrm{3}}\:−\mathrm{4}{ln}^{\:\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}\right)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\blacksquare\:\:{m}.{n}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$