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prove-1-2-3-1-12-




Question Number 145809 by puissant last updated on 08/Jul/21
prove 1+2+3+.....=−(1/(12))
$$\mathrm{prove}\:\mathrm{1}+\mathrm{2}+\mathrm{3}+…..=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}} \\ $$
Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 09/Jul/21
A = 1−1+1−1+1−...  A = 1−(1−1+1−1+1−...)  A = 1−A  A = 1/2    B = 1−2+3−4+5−6+7+...  B = 1−(2−3+4−5+6−7+...)  B = 1−(1−2+3−4+5−6+...)  −(1−1+1−1+1−1+...)  B = 1−B−A  B = 1/4    S = 1+2+3+4+5+6+...  S−B = (1+2+3+4+5+6+...)  −( 1−2+3−4+5−6+7+...)  S−B = 2∗(2+4+6+8+...)  S−B = 4∗(1+2+3+4+...) = 4S  S = −B/3  S = −1/12 !
$$\mathrm{A}\:=\:\mathrm{1}−\mathrm{1}+\mathrm{1}−\mathrm{1}+\mathrm{1}−… \\ $$$$\mathrm{A}\:=\:\mathrm{1}−\left(\mathrm{1}−\mathrm{1}+\mathrm{1}−\mathrm{1}+\mathrm{1}−…\right) \\ $$$$\mathrm{A}\:=\:\mathrm{1}−\mathrm{A} \\ $$$$\mathrm{A}\:=\:\mathrm{1}/\mathrm{2} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{B}\:=\:\mathrm{1}−\mathrm{2}+\mathrm{3}−\mathrm{4}+\mathrm{5}−\mathrm{6}+\mathrm{7}+… \\ $$$$\mathrm{B}\:=\:\mathrm{1}−\left(\mathrm{2}−\mathrm{3}+\mathrm{4}−\mathrm{5}+\mathrm{6}−\mathrm{7}+…\right) \\ $$$$\mathrm{B}\:=\:\mathrm{1}−\left(\mathrm{1}−\mathrm{2}+\mathrm{3}−\mathrm{4}+\mathrm{5}−\mathrm{6}+…\right) \\ $$$$−\left(\mathrm{1}−\mathrm{1}+\mathrm{1}−\mathrm{1}+\mathrm{1}−\mathrm{1}+…\right) \\ $$$$\mathrm{B}\:=\:\mathrm{1}−\mathrm{B}−\mathrm{A} \\ $$$$\mathrm{B}\:=\:\mathrm{1}/\mathrm{4} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{S}\:=\:\mathrm{1}+\mathrm{2}+\mathrm{3}+\mathrm{4}+\mathrm{5}+\mathrm{6}+… \\ $$$$\mathrm{S}−\mathrm{B}\:=\:\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}+\mathrm{3}+\mathrm{4}+\mathrm{5}+\mathrm{6}+…\right) \\ $$$$−\left(\:\mathrm{1}−\mathrm{2}+\mathrm{3}−\mathrm{4}+\mathrm{5}−\mathrm{6}+\mathrm{7}+…\right) \\ $$$$\mathrm{S}−\mathrm{B}\:=\:\mathrm{2}\ast\left(\mathrm{2}+\mathrm{4}+\mathrm{6}+\mathrm{8}+…\right) \\ $$$$\mathrm{S}−\mathrm{B}\:=\:\mathrm{4}\ast\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}+\mathrm{3}+\mathrm{4}+…\right)\:=\:\mathrm{4S} \\ $$$$\mathrm{S}\:=\:−\mathrm{B}/\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{S}\:=\:−\mathrm{1}/\mathrm{12}\:! \\ $$
Commented by puissant last updated on 09/Jul/21
thank you sir
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir} \\ $$

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