Question Number 145809 by puissant last updated on 08/Jul/21
$$\mathrm{prove}\:\mathrm{1}+\mathrm{2}+\mathrm{3}+…..=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}} \\ $$
Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 09/Jul/21
$$\mathrm{A}\:=\:\mathrm{1}−\mathrm{1}+\mathrm{1}−\mathrm{1}+\mathrm{1}−… \\ $$$$\mathrm{A}\:=\:\mathrm{1}−\left(\mathrm{1}−\mathrm{1}+\mathrm{1}−\mathrm{1}+\mathrm{1}−…\right) \\ $$$$\mathrm{A}\:=\:\mathrm{1}−\mathrm{A} \\ $$$$\mathrm{A}\:=\:\mathrm{1}/\mathrm{2} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{B}\:=\:\mathrm{1}−\mathrm{2}+\mathrm{3}−\mathrm{4}+\mathrm{5}−\mathrm{6}+\mathrm{7}+… \\ $$$$\mathrm{B}\:=\:\mathrm{1}−\left(\mathrm{2}−\mathrm{3}+\mathrm{4}−\mathrm{5}+\mathrm{6}−\mathrm{7}+…\right) \\ $$$$\mathrm{B}\:=\:\mathrm{1}−\left(\mathrm{1}−\mathrm{2}+\mathrm{3}−\mathrm{4}+\mathrm{5}−\mathrm{6}+…\right) \\ $$$$−\left(\mathrm{1}−\mathrm{1}+\mathrm{1}−\mathrm{1}+\mathrm{1}−\mathrm{1}+…\right) \\ $$$$\mathrm{B}\:=\:\mathrm{1}−\mathrm{B}−\mathrm{A} \\ $$$$\mathrm{B}\:=\:\mathrm{1}/\mathrm{4} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{S}\:=\:\mathrm{1}+\mathrm{2}+\mathrm{3}+\mathrm{4}+\mathrm{5}+\mathrm{6}+… \\ $$$$\mathrm{S}−\mathrm{B}\:=\:\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}+\mathrm{3}+\mathrm{4}+\mathrm{5}+\mathrm{6}+…\right) \\ $$$$−\left(\:\mathrm{1}−\mathrm{2}+\mathrm{3}−\mathrm{4}+\mathrm{5}−\mathrm{6}+\mathrm{7}+…\right) \\ $$$$\mathrm{S}−\mathrm{B}\:=\:\mathrm{2}\ast\left(\mathrm{2}+\mathrm{4}+\mathrm{6}+\mathrm{8}+…\right) \\ $$$$\mathrm{S}−\mathrm{B}\:=\:\mathrm{4}\ast\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}+\mathrm{3}+\mathrm{4}+…\right)\:=\:\mathrm{4S} \\ $$$$\mathrm{S}\:=\:−\mathrm{B}/\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{S}\:=\:−\mathrm{1}/\mathrm{12}\:! \\ $$
Commented by puissant last updated on 09/Jul/21
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir} \\ $$