Question Number 151943 by Huy last updated on 24/Aug/21
$$\mathrm{Prove}\:\mathrm{arctan1}+\mathrm{arctan2}+\mathrm{arctan3}=\pi \\ $$
Commented by puissant last updated on 24/Aug/21
$${x}={arctan}\mathrm{1}\:,\:{y}={arctan}\mathrm{2}\:,\:{z}={arctan}\mathrm{3} \\ $$$${p}={x}+{y} \\ $$$$\Rightarrow\:{tan}\left({p}\right)={tan}\left({x}+{y}\right)=\frac{{tanx}+{tany}}{\mathrm{1}−{tanxtany}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}+\mathrm{2}}{\mathrm{1}−\mathrm{2}}\:=\:−\mathrm{3} \\ $$$${tan}\left({z}+{p}\right)=\frac{{tanz}+{tanp}}{\mathrm{1}−{tanztanp}}\:=\:\frac{\mathrm{3}−\mathrm{3}}{\mathrm{1}+\mathrm{9}}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$${tan}\left({p}+{z}\right)={tan}\left({x}+{y}+{z}\right)=\mathrm{0}={tan}\pi \\ $$$$ \\ $$$$\Rightarrow\:{arctan}\mathrm{1}+{arctan}\mathrm{2}+{arctan}\mathrm{3}=\pi. \\ $$
Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 24/Aug/21
$$\mathrm{arctan}{a}\:=\:\frac{\pi}{\mathrm{2}}−\mathrm{arctan}\frac{\mathrm{1}}{{a}} \\ $$$$\mathrm{arctan}{a}−\mathrm{arctan}{b}\:=\:\mathrm{arctan}\left(\frac{{a}−{b}}{\mathrm{1}+{ab}}\right) \\ $$$${x}\:=\:\mathrm{arctan1}+\mathrm{arctan2}+\mathrm{arctan3} \\ $$$${x}\:=\:\mathrm{arctan1}+\frac{\pi}{\mathrm{2}}−\mathrm{arctan}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\pi}{\mathrm{2}}−\mathrm{arctan}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$$${x}\:=\:\pi+\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}{\mathrm{1}+\mathrm{1}.\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)−\mathrm{arctan}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$$${x}\:=\:\pi+\mathrm{arctan}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}−\mathrm{arctan}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$$${x}\:=\:\pi \\ $$