Question Number 146102 by tabata last updated on 10/Jul/21
$${prove}\:{by}\:{mathmatical}\:{indiction}\: \\ $$$$\mathrm{5}+\mathrm{7}+\mathrm{9}+…..+\left(\mathrm{4}{n}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{2}{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{n} \\ $$
Answered by gsk2684 last updated on 11/Jul/21
$${let}\:{S}\left({n}\right):\mathrm{5}+\mathrm{7}+\mathrm{9}+…+\left(\mathrm{4}{n}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{2}{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{n} \\ $$$$\boldsymbol{{basic}}\:\boldsymbol{{step}}:{if}\:{n}=\mathrm{1}\:{then}\:\mathrm{5}=\mathrm{2}\left(\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\left(\mathrm{1}\right){is}\:{true} \\ $$$$\therefore\:{S}\left(\mathrm{1}\right)\:{is}\:{true}\: \\ $$$$\boldsymbol{{assumption}}\:\boldsymbol{{step}}:\: \\ $$$${assume}\:{S}\left({k}\right)\:{is}\:{true}\: \\ $$$$\mathrm{5}+\mathrm{7}+\mathrm{9}+…+\left(\mathrm{4}{k}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{2}{k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{k} \\ $$$$\boldsymbol{{inductive}}\:\boldsymbol{{step}}:\: \\ $$$${to}\:{prove}\:{S}\left({k}+\mathrm{1}\right)\:{is}\:{true}\: \\ $$$$\mathrm{5}+\mathrm{7}+\mathrm{9}+…+\left(\mathrm{4}{k}+\mathrm{1}\right)+\left(\mathrm{4}\left({k}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\mathrm{2}{k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{k}+\left(\mathrm{4}{k}+\mathrm{4}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\mathrm{2}{k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{7}{k}+\mathrm{5} \\ $$$$=\mathrm{2}\left({k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{3}\left({k}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\mathrm{2}\left({k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\left({k}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\therefore{S}\left({k}+\mathrm{1}\right)\:{is}\:{true}\: \\ $$$$\therefore{By}\:{principle}\:{of}\:{finite}\:{mathematical} \\ $$$${induction}\:{given}\:{ststement}\: \\ $$$${S}\left({n}\right)\:{is}\:{true}\:\forall\:{n}\in{N} \\ $$