Question Number 99385 by Ar Brandon last updated on 20/Jun/20
$$\mathrm{Prove}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{4}} \mathrm{A}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos2A}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\mathrm{cos4A} \\ $$
Answered by Ar Brandon last updated on 20/Jun/20
$$\begin{vmatrix}{\mathrm{z}^{\mathrm{n}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{z}^{\mathrm{n}} }=\mathrm{2}{i}\mathrm{sin}\left(\mathrm{nA}\right)\:\:,\:\:\mathrm{z}^{\mathrm{n}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{z}^{\mathrm{n}} }=\mathrm{2cos}\left(\mathrm{nA}\right)}\\{\Rightarrow\left(\mathrm{z}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{z}}\right)^{\mathrm{4}} =\left(\mathrm{2}{i}\mathrm{sinA}\right)^{\mathrm{4}} }\\{\Rightarrow\left(\mathrm{z}^{\mathrm{4}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{z}^{\mathrm{4}} }\right)−\mathrm{4}\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} }\right)+\mathrm{6}=\mathrm{16sin}^{\mathrm{4}} \mathrm{A}}\\{\Rightarrow\mathrm{16sin}^{\mathrm{4}} \mathrm{A}=\mathrm{2cos4A}−\mathrm{8cos2A}+\mathrm{6}}\\{\Rightarrow\mathrm{sin}^{\mathrm{4}} \mathrm{A}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos2A}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\mathrm{cos4A}}\\{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:}\end{vmatrix}\: \\ $$
Answered by 1549442205 last updated on 21/Jun/20
$$\mathrm{sin}^{\mathrm{4}} \mathrm{A}=\left(\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{A}\right)^{\mathrm{2}} =\left(\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cos2A}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{1}−\mathrm{2cos2A}+\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{2A}}{\mathrm{4}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos2A}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}×\frac{\mathrm{1}+\mathrm{cos4A}}{\mathrm{2}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos2A}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\mathrm{cos4A} \\ $$$$ \\ $$