Question Number 169115 by mnjuly1970 last updated on 24/Apr/22
$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{Prove}\:\:\:\:\mathrm{that} \\ $$$$\:\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\Omega=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\infty} \frac{\:{sin}\left({x}\right)}{{e}^{\:{x}} \:−\mathrm{1}}\:{dx}\:\overset{?} {=}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\left(\:\pi{coth}\left(\pi\right)\:−\mathrm{1}\:\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:−−−\:\:{solution}\:−−− \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\Omega=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\infty} \frac{\:{e}^{\:−{x}} .{sin}\left({x}\right)}{\mathrm{1}−\:{e}^{\:−{x}} }\:{dx}=\int_{\mathrm{0}} ^{\:\infty} \left({sin}\left({x}\right)\:\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}{e}^{\:−{nx}} \right){dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\int_{\mathrm{0}} ^{\:\infty} \:{e}^{\:−{nx}} .{sin}\left({x}\right){dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\:\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\:\mathrm{1}}{\mathrm{1}\:+\:{n}^{\:\mathrm{2}} }\:\:\underset{{function}} {\overset{{Upsilon}} {=}}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\left(\:\pi{coth}\left(\pi\right)\:−\:\mathrm{1}\right)\:\:\:\:\:\:\:\blacksquare\:{m}.{n}\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{Note}\::\:\Upsilon\:\left({s}\:\right)=\:\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\:{s}^{\:\mathrm{2}} \:+\:{n}^{\:\mathrm{2}} }\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{s}}\left(\:\pi{coth}\left(\pi{s}\right)\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{s}\:}\right)\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{where}\::\:\:\:{s}\:\in\:\mathbb{C}\:−\:\left\{\:{ki}\in\:\mathbb{Z}\::\:\:{k}\neq\:\mathrm{0}\:\right\}\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$