Question Number 19291 by Tinkutara last updated on 08/Aug/17
$$\mathrm{Prove}\:\mathrm{that} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{cos}\:\mathrm{6}°}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{24}°}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{48}°}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{12}°}\:. \\ $$
Answered by Tinkutara last updated on 16/Aug/17
$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{cos}\:\mathrm{6}°}\:−\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{12}°}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{24}°}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{48}°} \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{cos}\:\mathrm{6}°}\:−\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{12}°}\:+\:\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{48}°\:+\:\mathrm{sin}\:\mathrm{24}°}{\mathrm{sin}\:\mathrm{48}°\:\mathrm{sin}\:\mathrm{24}°} \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{cos}\:\mathrm{6}°}\:−\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{12}°}\:+\:\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{36}°}{\mathrm{sin}\:\mathrm{48}°\:\mathrm{sin}\:\mathrm{12}°} \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{cos}\:\mathrm{6}°}\:−\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{12}°}\left(\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{48}°\:−\:\mathrm{sin}\:\mathrm{36}°}{\mathrm{sin}\:\mathrm{48}°}\right) \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{cos}\:\mathrm{6}°}\:−\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{12}°}\left(\frac{\mathrm{2}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{42}°\:\mathrm{sin}\:\mathrm{6}°}{\mathrm{sin}\:\mathrm{48}°}\right) \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{cos}\:\mathrm{6}°}\:−\:\frac{\mathrm{2}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{6}°}{\mathrm{2}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{6}°\:\mathrm{cos}\:\mathrm{6}°}\:\left[\because\:\mathrm{cos}\:\mathrm{42}°\:=\:\mathrm{sin}\:\mathrm{48}°\right] \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{cos}\:\mathrm{6}°}\:−\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{cos}\:\mathrm{6}°}\:=\:\mathrm{0} \\ $$