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prove-that-2-a-240-a-5-a-

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Question Number 159556 by mnjuly1970 last updated on 18/Nov/21
prove that: 2∤ a ⇒ 240∣ a^( 5) − a
$$ \\ $$$$\:\:{prove}\:{that}: \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{2}\nmid\:{a}\:\Rightarrow\:\mathrm{240}\mid\:{a}^{\:\mathrm{5}} \:−\:{a}\:\:\:\:\: \\ $$$$ \\ $$
Answered by floor(10²Eta[1]) last updated on 18/Nov/21
240=2^4 .3.5 •by fermat: a^5 ≡a(mod5)⇒5∣a^5 −a •a^5 −a=a(a^4 −1)=a(a^2 −1)(a^2 +1) =(a−1)a(a+1)(a^2 +1), but since this has a product of three consecutive numbers it has to be multiple of 3⇒3∣a^5 −a •now, a^5 −a=a(a^2 −1)(a^2 +1), since a is odd, a=2k+1∴a^5 −a=(2k+1)((2k+1)^2 −1)((2k+1)^2 +1) =(2k+1)(4k^2 +4k)(4k^2 +4k+2) =8(2k+1)(k^2 +k)(2k^2 +2k+1), so this is a multiple of 8⇒if we show that (2k+1)(k^2 +k)(2k^2 +2k+1) is even, we′re done but (2k+1)(k^2 +k)(2k^2 +2k+1) =(2k+1)k(k+1)(2k^2 +2k+1) has a product of two consecutive numbers, so it′s divisible by 2 ⇒16∣a^5 −a 16.3.5=240∣a^5 −a
$$\mathrm{240}=\mathrm{2}^{\mathrm{4}} .\mathrm{3}.\mathrm{5} \\ $$$$\bullet\mathrm{by}\:\mathrm{fermat}:\:\mathrm{a}^{\mathrm{5}} \equiv\mathrm{a}\left(\mathrm{mod5}\right)\Rightarrow\mathrm{5}\mid\mathrm{a}^{\mathrm{5}} −\mathrm{a} \\ $$$$\bullet\mathrm{a}^{\mathrm{5}} −\mathrm{a}=\mathrm{a}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{4}} −\mathrm{1}\right)=\mathrm{a}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\left(\mathrm{a}−\mathrm{1}\right)\mathrm{a}\left(\mathrm{a}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right),\:\mathrm{but}\:\mathrm{since}\:\mathrm{this}\:\mathrm{has} \\ $$$$\mathrm{a}\:\mathrm{product}\:\mathrm{of}\:\mathrm{three}\:\mathrm{consecutive}\:\mathrm{numbers} \\ $$$$\mathrm{it}\:\mathrm{has}\:\mathrm{to}\:\mathrm{be}\:\mathrm{multiple}\:\mathrm{of}\:\mathrm{3}\Rightarrow\mathrm{3}\mid\mathrm{a}^{\mathrm{5}} −\mathrm{a} \\ $$$$\bullet\mathrm{now},\:\mathrm{a}^{\mathrm{5}} −\mathrm{a}=\mathrm{a}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right),\:\mathrm{since}\:\mathrm{a}\:\mathrm{is}\:\mathrm{odd}, \\ $$$$\mathrm{a}=\mathrm{2k}+\mathrm{1}\therefore\mathrm{a}^{\mathrm{5}} −\mathrm{a}=\left(\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right)\left(\left(\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\left(\left(\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\left(\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{4k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4k}\right)\left(\mathrm{4k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4k}+\mathrm{2}\right) \\ $$$$=\mathrm{8}\left(\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{k}\right)\left(\mathrm{2k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right),\:\mathrm{so}\:\mathrm{this} \\ $$$$\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{multiple}\:\mathrm{of}\:\mathrm{8}\Rightarrow\mathrm{if}\:\mathrm{we}\:\mathrm{show}\:\mathrm{that}\: \\ $$$$\left(\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{k}\right)\left(\mathrm{2k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{even},\:\mathrm{we}'\mathrm{re}\:\mathrm{done} \\ $$$$\mathrm{but}\:\left(\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{k}\right)\left(\mathrm{2k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\left(\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right)\mathrm{k}\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right)\:\mathrm{has}\:\mathrm{a}\:\mathrm{product} \\ $$$$\mathrm{of}\:\mathrm{two}\:\mathrm{consecutive}\:\mathrm{numbers},\:\mathrm{so}\:\mathrm{it}'\mathrm{s}\:\mathrm{divisible}\:\mathrm{by}\:\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{16}\mid\mathrm{a}^{\mathrm{5}} −\mathrm{a} \\ $$$$\mathrm{16}.\mathrm{3}.\mathrm{5}=\mathrm{240}\mid\mathrm{a}^{\mathrm{5}} −\mathrm{a} \\ $$
Commented by mnjuly1970 last updated on 19/Nov/21
thanks alot ..very nice ali
$${thanks}\:{alot}\:..{very}\:{nice}\:{ali} \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 19/Nov/21
•240∣a^( 5) −a⇔ { ((16∣ a^( 5) −a)),(( 3∣ a^( 5) −a)),(( 5∣ a^( 5) −a)) :}[∵ 240=16.3.5] •a^5 −a=a(a−1)(a+1)(a^2 +1) (i)To prove:16∣ a^( 5) − a a∈O: a may be either 4k+1 or 4k+3 a=4k+1: a^5 −a=a(a−1)(a+1)(a^2 +1) =(4k+1)(4k)(4k+2)(16k^2 +8k+2) =16(4k+1)(k)(2k+1)(8k^2 +4k+1) a=4k+3: a^5 −a=(4k+3)(4k+2)(4k+4)(16k^2 +24k+10) =16(4k+3)(2k+1)(k+1)(8k^2 +12k+5) ∴ 16∣a^5 −a determinant ((( 16∣a^5 −a)))...............A (ii)To prove:3∣ a^( 5) − a a=3k→3∣a a=3k+1→3∣a−1 a=3k+2→3∣a+1 ∴ 3 ∣a^5 −a determinant (((3 ∣a^5 −a))).................B (iii)To prove:5∣ a^( 5) − a a=5k→5∣a a=5k+1→5∣a−1 a=5k+2→5∣a^2 +1 a=5k+3→5∣a^2 +1 a=5k+4→5∣a+1 ∴ 5∣a^5 −a determinant (((5∣a^5 −a))).................C From A,B & C: determinant (((240∣a^5 −a^((16.3.5)∣a^5 −a_(OR) ) )))
$$\:\bullet\mathrm{240}\mid{a}^{\:\mathrm{5}} −{a}\Leftrightarrow\begin{cases}{\mathrm{16}\mid\:{a}^{\:\mathrm{5}} −{a}}\\{\:\:\:\mathrm{3}\mid\:{a}^{\:\mathrm{5}} −{a}}\\{\:\:\:\mathrm{5}\mid\:{a}^{\:\mathrm{5}} −{a}}\end{cases}\left[\because\:\mathrm{240}=\mathrm{16}.\mathrm{3}.\mathrm{5}\right] \\ $$$$\:\bullet{a}^{\mathrm{5}} −{a}={a}\left({a}−\mathrm{1}\right)\left({a}+\mathrm{1}\right)\left({a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right) \\ $$$$\left({i}\right)\mathcal{T}{o}\:{prove}:\mathrm{16}\mid\:{a}^{\:\mathrm{5}} \:−\:{a} \\ $$$${a}\in\mathbb{O}:\:{a}\:{may}\:{be}\:{either}\:\mathrm{4}{k}+\mathrm{1}\:{or}\:\mathrm{4}{k}+\mathrm{3} \\ $$$${a}=\mathrm{4}{k}+\mathrm{1}: \\ $$$${a}^{\mathrm{5}} −{a}={a}\left({a}−\mathrm{1}\right)\left({a}+\mathrm{1}\right)\left({a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:=\left(\mathrm{4}{k}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{4}{k}\right)\left(\mathrm{4}{k}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{16}{k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{8}{k}+\mathrm{2}\right) \\ $$$$=\mathrm{16}\left(\mathrm{4}{k}+\mathrm{1}\right)\left({k}\right)\left(\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{8}{k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{k}+\mathrm{1}\right) \\ $$$${a}=\mathrm{4}{k}+\mathrm{3}: \\ $$$${a}^{\mathrm{5}} −{a}=\left(\mathrm{4}{k}+\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{4}{k}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{4}{k}+\mathrm{4}\right)\left(\mathrm{16}{k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{24}{k}+\mathrm{10}\right) \\ $$$$=\mathrm{16}\left(\mathrm{4}{k}+\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}\right)\left({k}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{8}{k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{12}{k}+\mathrm{5}\right) \\ $$$$\therefore\:\mathrm{16}\mid{a}^{\mathrm{5}} −{a}\: \\ $$$$\begin{array}{|c|}{\:\mathrm{16}\mid{a}^{\mathrm{5}} −{a}}\\\hline\end{array}……………{A} \\ $$$$\left({ii}\right)\mathcal{T}{o}\:{prove}:\mathrm{3}\mid\:{a}^{\:\mathrm{5}} \:−\:{a} \\ $$$${a}=\mathrm{3}{k}\rightarrow\mathrm{3}\mid{a} \\ $$$${a}=\mathrm{3}{k}+\mathrm{1}\rightarrow\mathrm{3}\mid{a}−\mathrm{1} \\ $$$${a}=\mathrm{3}{k}+\mathrm{2}\rightarrow\mathrm{3}\mid{a}+\mathrm{1} \\ $$$$\therefore\:\mathrm{3}\:\mid{a}^{\mathrm{5}} −{a} \\ $$$$\begin{array}{|c|}{\mathrm{3}\:\mid{a}^{\mathrm{5}} −{a}}\\\hline\end{array}……………..{B} \\ $$$$\left({iii}\right)\mathcal{T}{o}\:{prove}:\mathrm{5}\mid\:{a}^{\:\mathrm{5}} \:−\:{a} \\ $$$${a}=\mathrm{5}{k}\rightarrow\mathrm{5}\mid{a} \\ $$$${a}=\mathrm{5}{k}+\mathrm{1}\rightarrow\mathrm{5}\mid{a}−\mathrm{1} \\ $$$${a}=\mathrm{5}{k}+\mathrm{2}\rightarrow\mathrm{5}\mid{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1} \\ $$$${a}=\mathrm{5}{k}+\mathrm{3}\rightarrow\mathrm{5}\mid{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1} \\ $$$${a}=\mathrm{5}{k}+\mathrm{4}\rightarrow\mathrm{5}\mid{a}+\mathrm{1} \\ $$$$\therefore\:\mathrm{5}\mid{a}^{\mathrm{5}} −{a} \\ $$$$\begin{array}{|c|}{\mathrm{5}\mid{a}^{\mathrm{5}} −{a}}\\\hline\end{array}……………..{C} \\ $$$${From}\:{A},{B}\:\&\:{C}: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\begin{array}{|c|}{\overset{\underset{\mathrm{OR}} {\left(\mathrm{16}.\mathrm{3}.\mathrm{5}\right)\mid{a}^{\mathrm{5}} −{a}}} {\mathrm{240}\mid{a}^{\mathrm{5}} −{a}}}\\\hline\end{array} \\ $$
Commented by mnjuly1970 last updated on 19/Nov/21
excellent sir Rasheed
$${excellent}\:{sir}\:{Rasheed} \\ $$

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