Question Number 113200 by bobhans last updated on 11/Sep/20
$$\mathrm{prove}\:\mathrm{that}\:\mathrm{2tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)+\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}}\right)=\frac{\pi}{\mathrm{4}} \\ $$
Answered by john santu last updated on 11/Sep/20
$$\left({Q}\right)\:{prove}\:{that}\:\mathrm{2}\:\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)+\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}}\right)\:=\:\frac{\pi}{\mathrm{4}}. \\ $$$$\left({sol}\right)\:{recall}\:\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)\:=\:{arg}\:\left(\mathrm{3}+{i}\right) \\ $$$$\rightarrow\:\mathrm{2}\:\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)\:=\:\mathrm{2}\:{arg}\:\left(\mathrm{3}+{i}\right)\:=\:{arg}\left(\left(\mathrm{3}+{i}\right)^{\mathrm{2}} \right)={arg}\left(\mathrm{8}+\mathrm{6}{i}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:{arg}\:\left(\mathrm{4}+\mathrm{3}{i}\right) \\ $$$${now}\:{we}\:{have}\:\mathrm{2}\:\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)+\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}}\right)\:= \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{arg}\left(\mathrm{4}+\mathrm{3}{i}\right)\:+\:{arg}\left(\mathrm{7}+{i}\right)\:= \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{arg}\:\left(\left(\mathrm{4}+\mathrm{3}{i}\right)\left(\mathrm{7}+{i}\right)\right)\:=\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{arg}\:\left(\mathrm{25}+\mathrm{25}{i}\right)\:=\:{arg}\left(\mathrm{1}+{i}\right)\:=\:\frac{\pi}{\mathrm{4}}.\left(\checkmark\right) \\ $$
Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 11/Sep/20
$$\mathrm{2}{tan}^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}={tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}}\right)={tan}^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}} \\ $$$${tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}}\right)+{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\right)={tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{28}}}\right)={tan}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}\right)=\frac{\pi}{\mathrm{4}} \\ $$