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Prove-that-a-b-b-c-c-a-a-2-1-b-2-1-b-2-1-c-2-1-c-2-1-a-2-1-for-a-b-c-are-positive-real-number-

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Question Number 150039 by bobhans last updated on 09/Aug/21
Prove that (a/b)+(b/c)+(c/a)≥(√((a^2 +1)/(b^2 +1)))+(√((b^2 +1)/(c^2 +1)))+(√((c^2 +1)/(a^2 +1))) for a,b,c are positive real number
$$\mathrm{Prove}\:\mathrm{that}\:\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}}+\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}\geqslant\sqrt{\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}+\sqrt{\frac{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{\mathrm{c}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}+\sqrt{\frac{\mathrm{c}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}} \\ $$$$\mathrm{for}\:\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c}\:\mathrm{are}\:\mathrm{positive}\:\mathrm{real}\:\mathrm{number}\: \\ $$
Answered by EDWIN88 last updated on 09/Aug/21
(•) with Cauchy−Schwarz′s (a^2 +b^2 )(√((a^2 +1)(b^2 +1))) ≥ (a^2 +b^2 )(ab+1) = ab(a^2 +b^2 )+a^2 +b^2 ≥ ab(a^2 +b^2 +2) ⇒Σ (a/b)+Σ (b/a) =Σ ((a^2 +b^2 )/(ab)) ≥ Σ ((a^2 +b^2 +2)/( (√((a^2 +1)(b^2 +1))))) = Σ (√((a^2 +1)/(b^2 +1))) +Σ (√((b^2 +1)/(a^2 +1))) (•) with Chebyshev′s Σ (a^2 /b^2 ) = Σ (a^2 /(b^2 +1)) +Σ (a^2 /(b^2 (b^2 +1))) ≥ Σ (a^2 /(b^2 +1))+Σ (b^2 /(b^2 (b^2 +1))) = Σ ((a^2 +1)/(b^2 +1)) then (1+Σ (a/b))^2 =1+2(Σ (a/b)+Σ (b/a))+(a^2 /b^2 ) ≥ 1+2(Σ (√((a^2 +1)/(b^2 +1))) +Σ (√((b^2 +1)/(a^2 +1))))+Σ ((a^2 +1)/(b^2 +1)) = (1+Σ (√((a^2 +1)/(b^2 +1))))^2 Thus (a/b)+(b/c)+(c/a) ≥ (√((a^2 +1)/(b^2 +1)))+(√((b^2 +1)/(c^2 +1)))+(√((c^2 +1)/(a^2 +1)))
$$\left(\bullet\right)\:{with}\:{Cauchy}−{Schwarz}'{s}\: \\ $$$$\:\left({a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} \right)\sqrt{\left({a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\left({b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}\:\geqslant\:\left({a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} \right)\left({ab}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:{ab}\left({a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} \right)+{a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\geqslant\:{ab}\left({a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\right) \\ $$$$\:\:\:\Rightarrow\Sigma\:\frac{{a}}{{b}}+\Sigma\:\frac{{b}}{{a}}\:=\Sigma\:\frac{{a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} }{{ab}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\geqslant\:\Sigma\:\frac{{a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}}{\:\sqrt{\left({a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\left({b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\Sigma\:\sqrt{\frac{{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}\:+\Sigma\:\sqrt{\frac{{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}} \\ $$$$\left(\bullet\right)\:{with}\:{Chebyshev}'{s}\: \\ $$$$\:\Sigma\:\frac{{a}^{\mathrm{2}} }{{b}^{\mathrm{2}} }\:=\:\Sigma\:\frac{{a}^{\mathrm{2}} }{{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:+\Sigma\:\frac{{a}^{\mathrm{2}} }{{b}^{\mathrm{2}} \left({b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\geqslant\:\Sigma\:\frac{{a}^{\mathrm{2}} }{{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\Sigma\:\frac{{b}^{\mathrm{2}} }{{b}^{\mathrm{2}} \left({b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\Sigma\:\frac{{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\: \\ $$$${then}\:\left(\mathrm{1}+\Sigma\:\frac{{a}}{{b}}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{1}+\mathrm{2}\left(\Sigma\:\frac{{a}}{{b}}+\Sigma\:\frac{{b}}{{a}}\right)+\frac{{a}^{\mathrm{2}} }{{b}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\geqslant\:\mathrm{1}+\mathrm{2}\left(\Sigma\:\sqrt{\frac{{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}\:+\Sigma\:\sqrt{\frac{{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}\right)+\Sigma\:\frac{{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:=\:\left(\mathrm{1}+\Sigma\:\sqrt{\frac{{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$${Thus}\:\frac{{a}}{{b}}+\frac{{b}}{{c}}+\frac{{c}}{{a}}\:\geqslant\:\sqrt{\frac{{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}+\sqrt{\frac{{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{{c}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}+\sqrt{\frac{{c}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}\: \\ $$

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