Question Number 148609 by learner001 last updated on 29/Jul/21
$$\mathrm{prove}\:\mathrm{that}\:\left(\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \right)_{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{1}\:} \mathrm{defined}\:\mathrm{by}\:\mathrm{a}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}+…+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)}\:\mathrm{is}\: \\ $$$$\mathrm{cauchy}\:\mathrm{sequence}. \\ $$
Commented by learner001 last updated on 29/Jul/21
$$\mathrm{This}\:\mathrm{is}\:\mathrm{what}\:\mathrm{i}\:\mathrm{tried}. \\ $$$$\mathrm{let}\:\epsilon>\mathrm{0}\:\mathrm{be}\:\mathrm{given}\:\mathrm{i}\:\mathrm{need}\:\mathrm{an}\:\mathrm{n}^{\ast} \:\mathrm{such}\:\mathrm{that}\:\mathrm{p}\in\mathbb{N}\:\mathrm{if}\:\forall\:\mathrm{n}\geqslant\mathrm{n}^{\ast} \:\mathrm{then} \\ $$$$\mid\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{p}} −\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mid<\epsilon. \\ $$$$\mid\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{p}} −\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mid=\mid\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{2}}\right)+\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{3}}\right)+…+\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{p}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{p}+\mathrm{1}}\right)\mid \\ $$$$=\mid\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{p}+\mathrm{1}}\mid\leqslant\mid\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\mid+\mid\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{p}+\mathrm{1}}\mid<\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{p}}<\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}<\epsilon \\ $$$$\mathrm{if}\:\mathrm{n}^{\ast} \geqslant\frac{\mathrm{1}}{\epsilon}\:\mathrm{then}\:\mid\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{p}} −\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mid<\epsilon\:\forall\:\mathrm{n}\geqslant\mathrm{n}^{\ast} . \\ $$
Commented by learner001 last updated on 29/Jul/21
is this correct?