Question Number 44059 by paro123 last updated on 20/Sep/18
$$\mathrm{Prove}\:\mathrm{that}\:\mathrm{any}\:\mathrm{integer}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{expressed}\: \\ $$$$\mathrm{as}\:\mathrm{in}\:\mathrm{the}\:\mathrm{form}\:\mathrm{of}\:\mathrm{4k}\:\mathrm{or4k}\underset{−} {+}\mathrm{1}\:\mathrm{or}\:\mathrm{4k}\underset{−} {+}\mathrm{2}. \\ $$
Answered by kunal1234523 last updated on 21/Sep/18
$${any}\:{integer}\:{p}\:{can}\:{be}\:{expressed}\:{in}\:{the}\:{form} \\ $$$${p}\:=\:\mathrm{4}{q}\:\pm\:{r}\: \\ $$$${here},\:{r}\:=\:\mathrm{0},\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{3} \\ $$$${case}\:\mathrm{1} \\ $$$${r}=\mathrm{0} \\ $$$${p}=\mathrm{4}{q}\pm\mathrm{0}=\mathrm{4}{q} \\ $$$${similarly}\:{for} \\ $$$${r}=\mathrm{1}\:{p}=\mathrm{4}{q}\pm\mathrm{1} \\ $$$${r}=\mathrm{2}\:{p}=\mathrm{4}{q}\pm\mathrm{2} \\ $$$${for}\:{r}=\mathrm{3} \\ $$$${p}=\mathrm{4}{q}\:\pm\:\mathrm{3} \\ $$$${p}=\mathrm{4}{q}\:\pm\:\mathrm{4}\:\mp\mathrm{1} \\ $$$${p}=\mathrm{4}\left({q}\pm\mathrm{1}\right)\mp\mathrm{1} \\ $$$${p}=\mathrm{4}{m}\mp\mathrm{1}\:=\mathrm{4}{m}\pm\mathrm{1}\:,{m}={q}\pm\mathrm{1} \\ $$$${this}\:{is}\:{same}\:{for}\:{r}=\mathrm{1} \\ $$$${so}\:{p}=\mathrm{4}{q}\:,\:\mathrm{4}{q}\pm\mathrm{1}\:,\:\mathrm{4}{q}\:\pm\:\mathrm{2}\: \\ $$