Question Number 20091 by Tinkutara last updated on 21/Aug/17
$$\mathrm{Prove}\:\mathrm{that}\:\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{3}} {\sum}}\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \:\frac{\left(\mathrm{2}{n}\:+\:\mathrm{1}\right)\pi}{\mathrm{16}}\:=\:\mathrm{28}. \\ $$
Answered by ajfour last updated on 21/Aug/17
$$\frac{\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} {A}}{\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} {A}}+\frac{\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} {B}}{\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} {B}}=\frac{\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} {A}\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} {B}+\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} {A}\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} {B}}{\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} {A}\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} {B}} \\ $$$$=\frac{\left[\mathrm{sin}\:\left({A}+{B}\right)+\mathrm{sin}\:\left({A}−{B}\right)\right]^{\mathrm{2}} +\left[\mathrm{sin}\:\left({A}+{B}\right)−\mathrm{sin}\:\left({A}−{B}\right)\right]^{\mathrm{2}} }{\left[\mathrm{cos}\:\left({A}+{B}\right)+\mathrm{cos}\:\left({A}−{B}\right)\right]^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}\left[\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \left({A}+{B}\right)+\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \left({A}−{B}\right)\right]}{\left[\mathrm{cos}\:\left({A}+{B}\right)+\mathrm{cos}\:\left({A}−{B}\right)\right]^{\mathrm{2}} } \\ $$$${For}\:{A}=\frac{\pi}{\mathrm{16}}\:\:,\:{B}=\frac{\mathrm{7}\pi}{\mathrm{16}}\:\:\:;\:\:\:{C}=\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{16}}\:,\:{D}=\frac{\mathrm{5}\pi}{\mathrm{16}} \\ $$$$\mathrm{sin}\:\left({A}+{B}\right)=\:\mathrm{sin}\:\left({C}+{D}\right)=\mathrm{1}\:\:\:;\: \\ $$$$\mathrm{cos}\:\left({A}+{B}\right)=\:\mathrm{cos}\:\left({C}+{D}\right)=\:\mathrm{0}\:,\:{hence} \\ $$$$\Sigma\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} \frac{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)\pi}{\mathrm{16}}\:=\: \\ $$$$\:\:\:\:\frac{\mathrm{2}\left[\mathrm{1}+\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \:\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{8}}\right]}{\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \:\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{8}}}\:+\:\frac{\mathrm{2}\left[\mathrm{1}+\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \frac{\pi}{\mathrm{8}}\right]}{\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \frac{\pi}{\mathrm{8}}} \\ $$$$\:\:=\:\frac{\mathrm{4}+\mathrm{4sin}\:^{\mathrm{2}} \frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{8}}}{\mathrm{2cos}\:^{\mathrm{2}} \:\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{8}}}\:+\:\frac{\mathrm{4}+\mathrm{4sin}\:^{\mathrm{2}} \frac{\pi}{\mathrm{8}}}{\mathrm{2cos}\:^{\mathrm{2}} \frac{\pi}{\mathrm{8}}} \\ $$$$\:\:=\frac{\mathrm{4}+\mathrm{2}−\mathrm{2cos}\:\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{4}}}{\mathrm{1}+\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{4}}}\:+\:\frac{\mathrm{4}+\mathrm{2}−\mathrm{2cos}\:\frac{\pi}{\mathrm{4}}}{\mathrm{1}+\mathrm{cos}\:\frac{\pi}{\mathrm{4}}} \\ $$$$\:\:=\frac{\mathrm{6}+\sqrt{\mathrm{2}}}{\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right)}\:+\:\frac{\mathrm{6}−\sqrt{\mathrm{2}}}{\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right)}\:=\frac{\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:=\left(\mathrm{12}+\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{2}\right)+\left(\mathrm{12}−\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{2}\right) \\ $$$$\:=\:\mathrm{28}\:. \\ $$
Commented by Tinkutara last updated on 21/Aug/17
$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{very}\:\mathrm{much}\:\mathrm{Sir}! \\ $$