Prove-that-sec-4-x-cosec-4-x-sin-2-x-cos-2-x-sec-4-x-

Question Number 15328 by tawa tawa last updated on 09/Jun/17

$$\mathrm{Prove}\:\mathrm{that}. \\ $$$$\mathrm{sec}^{\mathrm{4}} \left(\mathrm{x}\right)\:−\:\mathrm{cosec}^{\mathrm{4}} \left(\mathrm{x}\right)\:=\:\frac{\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)\:−\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{sec}^{\mathrm{4}} \left(\mathrm{x}\right)} \\ $$

Answered by RasheedSoomro last updated on 10/Jun/17

LHS: =(sec^2 x+cosec^2 x)(sec x−cosec x)(secx+cosec x) =((1/(cos^2 x))+(1/(sin^2 x)))((1/(cos x))−(1/(sin x)))((1/(cos x))+(1/(sin x))) =(1/(cos^2 x sin^2 x))×((sin x−cos x)/(cos x sin x))×((sin x+cos x)/(cos x sin x)) =(1/(cos^2 x sin^2 x))×((sin^2 x−cos^2 x)/(cos^2 x sin^2 x)) =((sin^2 x−cos^2 x)/(cos^4 x sin^4 x))

$$\mathrm{LHS}: \\ $$$$=\left(\mathrm{sec}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\mathrm{cosec}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\right)\left(\mathrm{sec}\:\mathrm{x}−\mathrm{cosec}\:\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{secx}+\mathrm{cosec}\:\mathrm{x}\right) \\ $$$$=\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}\right)\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{x}}\right)\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{x}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}×\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{x}−\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{x}}×\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{x}+\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{x}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}×\frac{\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}−\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{x}}{\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{x}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{x}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}−\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{x}}{\mathrm{cos}^{\mathrm{4}} \:\mathrm{x}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{4}} \:\mathrm{x}} \\ $$

Commented by tawa tawa last updated on 09/Jun/17