Question Number 163171 by ZiYangLee last updated on 04/Jan/22
$$\mathrm{Prove}\:\mathrm{that}\:\:\:\mathrm{sin}\:\mathrm{36}°\:=\:\frac{\sqrt{\mathrm{10}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}^{} }}}{\mathrm{4}} \\ $$
Answered by mr W last updated on 04/Jan/22
$$\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{3}×\mathrm{18}^{°} \right)=\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{54}°\right)=\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{36}°\right)=\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{2}×\mathrm{18}°\right) \\ $$$$\mathrm{3}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{18}°−\mathrm{4}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{3}} \:\mathrm{18}°=\mathrm{1}−\mathrm{2}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{18}° \\ $$$${let}\:{t}=\mathrm{sin}\:\mathrm{18}° \\ $$$$\mathrm{3}{t}−\mathrm{4}{t}^{\mathrm{3}} =\mathrm{1}−\mathrm{2}{t}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{4}{t}^{\mathrm{3}} −\mathrm{2}{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{t}+\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{4}{t}^{\mathrm{3}} −\mathrm{4}{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{t}−{t}+\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\left({t}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{4}{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{t}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${t}\neq\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{4}{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{t}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow{t}=\frac{−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{4}}=\mathrm{sin}\:\mathrm{18}° \\ $$$$\mathrm{cos}\:\mathrm{18}°=\sqrt{\mathrm{1}−\left(\frac{\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)^{\mathrm{2}} }=\frac{\sqrt{\mathrm{10}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{sin}\:\mathrm{36}°=\mathrm{2}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{18}°\:\mathrm{cos}\:\mathrm{18}° \\ $$$$\:\:\:\:\:\:=\mathrm{2}×\frac{−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{4}}×\frac{\sqrt{\mathrm{10}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:=\frac{\sqrt{\left(\mathrm{10}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}\right)\left(\mathrm{6}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}\right)}}{\mathrm{8}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:=\frac{\sqrt{\mathrm{10}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}}}{\mathrm{4}} \\ $$
Commented by peter frank last updated on 05/Jan/22
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you} \\ $$
Commented by henderson last updated on 07/Jan/22
$$\mathrm{please},\:\mathrm{sir}\:\:\mathrm{W}\:! \\ $$$$\mathrm{how}\:\mathrm{you}\:\mathrm{get}\:\mathrm{the}\:\mathrm{second}\:\mathrm{line}\:…\:?\: \\ $$
Commented by mr W last updated on 07/Jan/22
$${the}\:{formulas}\:{for}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{3}\alpha\:{and}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{3}\alpha \\ $$$${are}\:{very}\:{useful}.\:{you}\:{should}\:{memorise} \\ $$$${them}.\:{but}\:{if}\:{you}\:{can}'{t},\:{you}\:{can}\:{also} \\ $$$${get}\:{them}\:{easily}\:{like}\:{in}\:{following}\:{way}: \\ $$$$\mathrm{sin}\:\mathrm{3}\alpha \\ $$$$=\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{2}\alpha+\alpha\right) \\ $$$$=\mathrm{sin}\:\mathrm{2}\alpha\:\mathrm{cos}\:\alpha+\mathrm{cos}\:\mathrm{2}\alpha\:\mathrm{sin}\:\alpha \\ $$$$=\mathrm{2sin}\:\alpha\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:\alpha+\left(\mathrm{1}−\mathrm{2}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\alpha\right)\:\mathrm{sin}\:\alpha \\ $$$$=\mathrm{2sin}\:\alpha\:\left(\mathrm{1}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\alpha\right)+\left(\mathrm{1}−\mathrm{2}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\alpha\right)\:\mathrm{sin}\:\alpha \\ $$$$=\mathrm{2sin}\:\alpha\:−\mathrm{2}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{3}} \:\alpha+\:\mathrm{sin}\:\alpha−\mathrm{2}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{3}} \:\alpha \\ $$$$=\mathrm{3sin}\:\alpha\:−\mathrm{4}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{3}} \:\alpha \\ $$$$=\left(\mathrm{3}−\mathrm{4}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\alpha\right)\mathrm{sin}\:\alpha \\ $$
Commented by greg_ed last updated on 07/Jan/22
$$\mathrm{very}\:\mathrm{good} \\ $$