Question Number 173298 by mnjuly1970 last updated on 09/Jul/22
$$\mathrm{Q}: \\ $$$$\:\:\:\:\:{f}\left({x}\right)=\:{e}^{\:{x}} +\:{x}\:−\mathrm{4}\:{is}\:{given} \\ $$$$\:\:\:\:\:{put}\::\:\:\:\:\:{h}\left({x}\right)=\:{ln}\left({x}−{f}^{\:−\mathrm{1}} \left({x}\right)\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:{find}\::\:\:\:\:\mathrm{D}_{\:{h}\:} \:=\:\left({domain}\:{of}\:\:\:\:{h}\:\right) \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$
Answered by floor(10²Eta[1]) last updated on 09/Jul/22
$$\mathrm{we}\:\mathrm{want}:\:\mathrm{x}−\mathrm{f}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)>\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{x}>\mathrm{f}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{note}\:\mathrm{that}\:\mathrm{f}'\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{e}^{\mathrm{x}} +\mathrm{1}>\mathrm{0}\:\forall\:\mathrm{x}\:\in\:\mathbb{R} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{f}\:\mathrm{is}\:\mathrm{increasing}\:\mathrm{i}.\mathrm{e}.,\:\forall\:\mathrm{a},\mathrm{b}\in\mathrm{D}_{\mathrm{f}} \therefore\mathrm{a}>\mathrm{b}\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)>\mathrm{f}\left(\mathrm{b}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{now}\:\mathrm{back}\:\mathrm{to}\:\mathrm{x}>\mathrm{f}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{since}\:\mathrm{f}\:\mathrm{is}\:\mathrm{incresing}\therefore\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)>\mathrm{f}\left(\mathrm{f}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)>\mathrm{x}\Rightarrow\mathrm{e}^{\mathrm{x}} +\mathrm{x}−\mathrm{4}>\mathrm{x}\Rightarrow\mathrm{e}^{\mathrm{x}} >\mathrm{4}\Rightarrow\mathrm{x}>\mathrm{ln4} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{D}_{\mathrm{h}} =\left\{\mathrm{x}\in\mathbb{R}\mid\mathrm{x}>\mathrm{ln4}\right\} \\ $$