Question Number 78941 by M±th+et£s last updated on 21/Jan/20
$${Q}.{find}\:{the}\:{sum} \\ $$$${S}=\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{2}!}+\frac{\mathrm{3}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}!}+\frac{\mathrm{4}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{4}!}+…. \\ $$$${then}\:{find}\:\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{n}^{\mathrm{4}} }{{n}!} \\ $$
Answered by mind is power last updated on 21/Jan/20
$$=\underset{{n}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{{n}^{\mathrm{3}} }{\left({n}−\mathrm{1}\right)!}=\underset{{k}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{\left({k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }{{k}!}=\underset{{k}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{\left({k}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{k}+\mathrm{1}\right)}{{k}!} \\ $$$$=\underset{{k}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{{k}^{\mathrm{2}} }{\left({k}−\mathrm{1}\right)!}+\mathrm{3}\underset{{k}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{{k}}{\left({k}−\mathrm{1}\right)!}+\mathrm{3}\underset{{k}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{\mathrm{1}}{\left({k}−\mathrm{1}\right)!}+\underset{{k}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{\mathrm{1}}{{k}!} \\ $$$$=\underset{{k}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{\left({k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{{k}!}+\mathrm{3}\underset{{k}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{{k}+\mathrm{1}}{{k}!}+\mathrm{3}\underset{{k}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{\mathrm{1}}{{k}!}+\underset{{k}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{\mathrm{1}}{{k}!}−\mathrm{1} \\ $$$$=\underset{{k}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{{k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}}{{k}!}+\mathrm{3}\underset{{k}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{{k}}{{k}!}+\underset{{k}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{\mathrm{7}}{{k}!}−\mathrm{1} \\ $$$$=\underset{{k}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{{k}}{\left({k}−\mathrm{1}\right)!}+\mathrm{2}\underset{{k}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{\mathrm{1}}{\left({k}−\mathrm{1}\right)!}+\underset{{k}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{\mathrm{1}}{{k}!}+\mathrm{3}\underset{{k}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{\mathrm{1}}{\left({k}−\mathrm{1}\right)!}+\mathrm{7}\underset{{k}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{\mathrm{1}}{{k}!}−\mathrm{1} \\ $$$$=\underset{{k}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{{k}+\mathrm{1}}{{k}!}+\mathrm{2}\underset{{k}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{\mathrm{1}}{{k}!}+\underset{{k}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{\mathrm{1}}{{k}!}+\mathrm{10}\underset{{k}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{\mathrm{1}}{{k}!}−\mathrm{1} \\ $$$$=\underset{{k}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{\mathrm{1}}{\left({k}−\mathrm{1}\right)!}+\underset{{k}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{\mathrm{1}}{{k}!}+\mathrm{2}\underset{{k}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{\mathrm{1}}{{k}!}+\underset{{k}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{\mathrm{1}}{{k}!}+\mathrm{10}\underset{{k}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{\mathrm{1}}{{k}!}−\mathrm{1} \\ $$$$=\mathrm{15}\underset{{k}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{\mathrm{1}}{{k}!}−\mathrm{1}=\mathrm{15}{e}−\mathrm{1} \\ $$
Answered by Smail last updated on 22/Jan/20
$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{n}^{\mathrm{4}} }{{n}!}=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{n}^{\mathrm{3}} }{\left({n}−\mathrm{1}\right)\left({n}−\mathrm{2}\right)\left({n}−\mathrm{3}\right)\left({n}−\mathrm{4}\right)!} \\ $$$$\frac{{n}^{\mathrm{3}} }{\left({n}−\mathrm{1}\right)!}=\frac{\mathrm{1}}{\left({n}−\mathrm{1}\right)!}+\frac{\mathrm{7}}{\left({n}−\mathrm{2}\right)!}+\frac{\mathrm{6}}{\left({n}−\mathrm{3}\right)!}+\frac{\mathrm{1}}{\left({n}−\mathrm{4}\right)!} \\ $$$${S}=\underset{{n}=\mathrm{4}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\left({n}−\mathrm{1}\right)!}+\frac{\mathrm{7}}{\left({n}−\mathrm{2}\right)!}+\frac{\mathrm{6}}{\left({n}−\mathrm{3}\right)!}+\frac{\mathrm{1}}{\left({n}−\mathrm{4}\right)!}\right)+\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{16}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{27}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$${S}=\frac{\mathrm{45}}{\mathrm{2}}+\underset{{n}=\mathrm{4}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left({n}−\mathrm{1}\right)!}+\underset{{n}=\mathrm{4}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{7}}{\left({n}−\mathrm{2}\right)!}+\underset{{n}=\mathrm{4}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{6}}{\left({n}−\mathrm{3}\right)!}+\underset{{n}=\mathrm{4}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left({n}−\mathrm{4}\right)!} \\ $$$${S}=\frac{\mathrm{45}}{\mathrm{2}}+\underset{{n}=\mathrm{3}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}!}+\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{7}}{{n}!}+\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{6}}{{n}!}+\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}!} \\ $$$$=\frac{\mathrm{45}}{\mathrm{2}}+\left({e}−\mathrm{1}−\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)+\mathrm{7}\left({e}−\mathrm{1}−\mathrm{1}\right)+\mathrm{6}\left({e}−\mathrm{1}\right)+{e} \\ $$$$=\frac{\mathrm{45}}{\mathrm{2}}+\mathrm{15}{e}−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}−\mathrm{14}−\mathrm{6} \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{n}^{\mathrm{4}} }{{n}!}=\mathrm{15}{e} \\ $$