Question Number 191986 by Mastermind last updated on 04/May/23
$$\mathrm{Ques}.\:\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{Let}\:\left(\mathrm{G},\ast\right)\:\mathrm{be}\:\mathrm{a}\:\mathrm{group},\:\mathrm{then}\:\mathrm{show} \\ $$$$\mathrm{that}\:\mathrm{for}\:\mathrm{each}\:\mathrm{a}\in\mathrm{G},\:\exists\:\mathrm{a}\:\mathrm{unique}\: \\ $$$$\mathrm{element}\:\mathrm{e}\in\mathrm{G}\:\mid\:\mathrm{a}\ast\mathrm{e}=\mathrm{e}\ast\mathrm{a}=\mathrm{a} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Ques}.\:\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{If}\:\mathrm{a}\in\mathrm{G}\:\Rightarrow\:\mathrm{x}\in\mathrm{G}\:\mathrm{and}\:\mathrm{x}\:\mathrm{is}\:\mathrm{unique} \\ $$$$\mathrm{show}\:\mathrm{that}\:\mathrm{if}\:\mathrm{x}\ast\mathrm{a}=\mathrm{e},\:\mathrm{then}\:\mathrm{a}\ast\mathrm{x}=\mathrm{e}. \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Hello}! \\ $$
Answered by AST last updated on 04/May/23
$${Ques}.\mathrm{1}\:{follows}\:{from}\:{the}\:{property}\:{of}\:{a}\:{group} \\ $$$${that}\:{for}\:{every}\:{a}\in{G},\exists\:{a}\:{unique}\:{element}\: \\ $$$${e}\in{G}\mid{a}\ast{e}={e}\ast{a}={a} \\ $$$$ \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right)\:\:{x}\ast{a}={e}\Rightarrow{x}^{−\mathrm{1}} \ast{x}\ast{a}={x}^{−\mathrm{1}} \ast{e}\Rightarrow{a}={x}^{−\mathrm{1}} \ast{e} \\ $$$$\Rightarrow{a}\ast{x}={x}^{−\mathrm{1}} \ast{e}\ast{x}={x}^{−\mathrm{1}} \ast{x}\ast{e}={e} \\ $$
Commented by Mastermind last updated on 04/May/23
$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{so}\:\mathrm{much}\:\mathrm{sir} \\ $$