Question Number 191787 by Mastermind last updated on 30/Apr/23
$$\mathrm{Ques}.\:\mathrm{2}\:\left(\mathrm{Metric}\:\mathrm{Space}\:\mathrm{Question}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{Let}\:\mathrm{d}\:\mathrm{be}\:\mathrm{a}\:\mathrm{metric}\:\mathrm{on}\:\mathrm{a}\:\mathrm{non}−\mathrm{empty} \\ $$$$\mathrm{set}\:\mathrm{X}.\:\mathrm{Show}\:\mathrm{that}\:\mathrm{the}\:\mathrm{function}\:\mathrm{U}\:\mathrm{is} \\ $$$$\mathrm{defined}\:\mathrm{by}\:\mathrm{U}\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right)=\frac{\mathrm{d}\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{d}\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right)},\:\mathrm{where} \\ $$$$\mathrm{x}\:\mathrm{and}\:\mathrm{y}\:\mathrm{are}\:\mathrm{arbitrary}\:\mathrm{element}\:\mathrm{X}\:\mathrm{is}\:\mathrm{also} \\ $$$$\mathrm{a}\:\mathrm{metric}\:\mathrm{on}\:\mathrm{X}. \\ $$