Question Number 100179 by bobhans last updated on 25/Jun/20
Answered by john santu last updated on 25/Jun/20
$$\mathrm{Tools}\:\sqrt{\mathrm{A}+\sqrt{\mathrm{B}}}\:=\:\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{A}+\sqrt{\mathrm{A}^{\mathrm{2}} −\mathrm{B}}\right)}\:+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{A}−\sqrt{\mathrm{A}^{\mathrm{2}} −\mathrm{B}}\right)} \\ $$$$\Rightarrow\sqrt{\mathrm{m}+\sqrt{\mathrm{m}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}\:=\:\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{m}+\mathrm{1}\right)}+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{m}−\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\underset{\mathrm{m}\:=\:\mathrm{1}\:} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{m}+\mathrm{1}\right)}+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{m}−\mathrm{1}\right)}} \\ $$$$=\:\sqrt{\mathrm{2}}\:\underset{\mathrm{m}\:=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{m}+\mathrm{1}}+\sqrt{\mathrm{m}−\mathrm{1}}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\:\underset{\mathrm{m}\:=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\sqrt{\mathrm{m}+\mathrm{1}}−\sqrt{\mathrm{m}−\mathrm{1}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}\:}\underset{\mathrm{m}=\mathrm{3}} {\overset{\mathrm{n}+\mathrm{2}} {\sum}}\sqrt{\mathrm{m}−\mathrm{1}}\:−\:\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\:\underset{\mathrm{m}=\:\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\sqrt{\mathrm{m}−\mathrm{1}} \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\:\left\{\underset{\mathrm{m}=\mathrm{3}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\sqrt{\mathrm{m}−\mathrm{1}}+\sqrt{\mathrm{n}}+\sqrt{\mathrm{n}+\mathrm{1}}−\left(\sqrt{\mathrm{0}}+\sqrt{\mathrm{1}}+\underset{\mathrm{m}=\mathrm{3}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\sqrt{\mathrm{m}−\mathrm{1}}\right)\right\} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}\:}\left(\sqrt{\mathrm{n}+\mathrm{1}}+\sqrt{\mathrm{n}}−\mathrm{1}\right)\:\blacksquare \\ $$
Answered by maths mind last updated on 25/Jun/20
$$\left(\sqrt{{m}+\mathrm{1}}+\sqrt{{m}−\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{2}{m}+\mathrm{2}\sqrt{{m}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow{m}+\sqrt{{m}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}=\frac{\left(\sqrt{{m}+\mathrm{1}}+\sqrt{{m}−\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}} \\ $$$$=\sqrt{{m}+\sqrt{{m}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}=\frac{\sqrt{{m}+\mathrm{1}}−\sqrt{{m}−\mathrm{1}}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}} \\ $$$$\Sigma\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{m}+\sqrt{{m}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}}=\underset{{m}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\:\sqrt{{m}+\mathrm{1}}+\sqrt{{m}−\mathrm{1}}} \\ $$$$=\Sigma\frac{\sqrt{\mathrm{2}}\left(\sqrt{{m}+\mathrm{1}}−\sqrt{{m}−\mathrm{1}}\right)}{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}.\underset{{m}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left(\sqrt{{m}+\mathrm{1}}−\sqrt{{m}−\mathrm{1}}\right) \\ $$$$=\frac{\sqrt{{n}+\mathrm{1}}+\sqrt{{n}}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}} \\ $$