Question Number 101247 by 175 last updated on 01/Jul/20
Answered by 1549442205 last updated on 06/Jul/20
$$\boldsymbol{\mathrm{Note}}\::\mathrm{the}\:\mathrm{integral}\:\mathrm{part}\:\mathrm{of}\:\mathrm{a}\:\mathrm{real}\:\mathrm{number} \\ $$$$\mathrm{x}\:\mathrm{be}\:\mathrm{the}\:\mathrm{grearest}\:\mathrm{integer}\:\mathrm{which}\:\mathrm{don}'\mathrm{t}\:\mathrm{exceed}\:\mathrm{x} \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{is}\:\mathrm{denoted}\:\mathrm{by}\:\mathrm{symbol}\:\left[\mathrm{x}\right] \\ $$$$\mathrm{Put}\:\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\:\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{n}} +\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{n}} .\mathrm{Then}\:\mathrm{we}\: \\ $$$$\mathrm{prove}\:\mathrm{that}\:\mathrm{A}_{\mathrm{n}} \:\mathrm{is}\:\mathrm{even}\:\forall\mathrm{n}\in\mathbb{N}\:.\mathrm{Indeed}, \\ $$$$\left.\mathrm{i}\right)\mathrm{For}\:\mathrm{n}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\mathrm{A}_{\mathrm{0}} =\mathrm{2}.\mathrm{For}\:\mathrm{n}=\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{A}_{\mathrm{1}} =\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\left[\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{n}} +\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{n}} \right]= \\ $$$$\left[\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} +\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \right]\left[\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)+\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{2}}\right)\right] \\ $$$$−\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{2}}\right)\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} −\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \\ $$$$=\mathrm{4}.\mathrm{A}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} −\mathrm{2}\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \\ $$$$=\mathrm{4}.\mathrm{A}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} −\mathrm{2A}_{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \mathrm{which}\:\mathrm{shows}\:\mathrm{that} \\ $$$$\mathrm{A}_{\mathrm{n}} \mathrm{is}\:\mathrm{an}\:\mathrm{even}\:\mathrm{number}\:\forall\mathrm{n}\in\mathbb{N} \\ $$$$\mathrm{Now}\:\mathrm{we}\:\mathrm{see}\:\mathrm{that}\:\mathrm{0}<\mathrm{m}=\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{n}} <\mathrm{1}\: \\ $$$$\mathrm{due}\:\mathrm{to}\:\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{2}}<\mathrm{1}.\mathrm{It}\:\mathrm{follows}\:\mathrm{that}\: \\ $$$$\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{n}} =\mathrm{A}_{\mathrm{n}} −\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{n}} =\mathrm{2M}−\mathrm{m} \\ $$$$\Rightarrow\left[\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\boldsymbol{\mathrm{n}}} \right]=\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{M}}−\mathrm{1} \\ $$$$\left.\boldsymbol{\mathrm{which}}\:\boldsymbol{\mathrm{means}}\:\boldsymbol{\mathrm{that}}\:\left[\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\boldsymbol{\mathrm{n}}} \right]\boldsymbol{\mathrm{is}}\:\boldsymbol{\mathrm{odd}}\left(\boldsymbol{\mathrm{q}}.\boldsymbol{\mathrm{e}}.\boldsymbol{\mathrm{d}}\right) \\ $$