Question Number 101473 by 175 last updated on 02/Jul/20
Answered by 1549442205 last updated on 03/Jul/20
$$ \\ $$$$\mathrm{We}\:\mathrm{prove}\:\mathrm{by}\:\mathrm{induction}\:\mathrm{method}\:\mathrm{that} \\ $$$$\exists\mathrm{m}\in\boldsymbol{\mathrm{N}}\:\mathrm{such}\:\mathrm{that}\: \\ $$$$\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{n}} =\left(\mathrm{m}_{\mathrm{n}} +\sqrt{\mathrm{m}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}^{\mathrm{n}} }\right)\mathrm{and}\:\mathrm{q}_{\mathrm{n}} =\sqrt{\frac{\mathrm{m}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{2}}}\in\mathbb{N} \\ $$$$\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\mathrm{m}_{\mathrm{n}} +\mathrm{q}_{\mathrm{n}} \sqrt{\mathrm{2}} \\ $$$$+\mathrm{For}\:\mathrm{n}=\mathrm{1}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}=\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{and}\:\sqrt{\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}}{\mathrm{2}}}=\mathrm{1}\in\boldsymbol{\mathrm{N}}\Rightarrow\mathrm{State}\:\mathrm{true} \\ $$$$+\mathrm{Suppose}\:\mathrm{State}\:\mathrm{was}\:\mathrm{true}\:\mathrm{for}\:\forall\mathrm{n}\leqslant\mathrm{k} \\ $$$$\mathrm{means}\:\mathrm{that}\:\mathrm{we}\:\mathrm{had}\:\mathrm{A}_{\mathrm{k}} =\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{k}} =\left(\mathrm{m}_{\mathrm{k}} +\sqrt{\mathrm{m}_{\mathrm{k}} ^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}^{\mathrm{k}} }\right) \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{q}_{\mathrm{k}} =\sqrt{\frac{\mathrm{m}_{\mathrm{k}} ^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}^{\mathrm{k}} }{\mathrm{2}}}\in\boldsymbol{\mathrm{N}},\mathrm{A}_{\mathrm{k}} =\mathrm{m}_{\mathrm{k}} +\mathrm{q}_{\mathrm{k}} \sqrt{\mathrm{2}} \\ $$$$+\mathrm{Then}\:\mathrm{A}_{\mathrm{k}+\mathrm{1}} =\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{k}+\mathrm{1}} =\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{k}} \left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$=\mathrm{A}_{\mathrm{k}} \left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)=\left(\mathrm{m}_{\mathrm{k}} +\sqrt{\mathrm{m}_{\mathrm{k}} ^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}^{\mathrm{k}} }\right)\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$=\mathrm{2m}_{\mathrm{k}} +\sqrt{\mathrm{2m}_{\mathrm{k}} ^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}^{\mathrm{k}+\mathrm{1}} }+\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{m}_{\mathrm{k}} +\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{m}_{\mathrm{k}} ^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}^{\mathrm{k}} } \\ $$$$=\left(\mathrm{2m}_{\mathrm{k}} +\mathrm{2}\sqrt{\frac{\mathrm{m}_{\mathrm{k}} ^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}^{\mathrm{k}} }{\mathrm{2}}}\right)+\sqrt{\mathrm{2}}\left(\mathrm{m}_{\mathrm{k}} +\sqrt{\mathrm{2m}_{\mathrm{k}} ^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}^{\mathrm{k}+\mathrm{1}} }\right) \\ $$$$=\mathrm{2m}_{\mathrm{k}} +\mathrm{2q}_{\mathrm{k}} +\left(\mathrm{m}_{\mathrm{k}} +\mathrm{2q}_{\mathrm{k}} \right)\sqrt{\mathrm{2}}=\mathrm{2}\left(\mathrm{m}_{\mathrm{k}} +\mathrm{q}_{\mathrm{k}} \right)+\sqrt{\mathrm{2}\left(\mathrm{m}_{\mathrm{k}} +\mathrm{2q}_{\mathrm{k}} \right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\mathrm{2}\left(\mathrm{m}_{\mathrm{k}} +\mathrm{q}_{\mathrm{k}} \right)+\sqrt{\mathrm{2m}_{\mathrm{k}} ^{\mathrm{2}} +\mathrm{8m}_{\mathrm{k}} \mathrm{q}_{\mathrm{k}} +\mathrm{8q}_{\mathrm{k}} ^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\mathrm{2}\left(\mathrm{m}_{\mathrm{k}} +\mathrm{q}_{\mathrm{k}} \right)+\sqrt{\mathrm{2m}_{\mathrm{k}} ^{\mathrm{2}} +\mathrm{8m}_{\mathrm{k}} \mathrm{q}_{\mathrm{k}} +\mathrm{4q}_{\mathrm{k}} ^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}.\frac{\mathrm{m}_{\mathrm{k}} ^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}^{\mathrm{k}} }{\mathrm{2}}} \\ $$$$=\mathrm{2}\left(\mathrm{m}_{\mathrm{k}} +\mathrm{q}_{\mathrm{k}} \right)+\sqrt{\left(\mathrm{4m}_{\mathrm{k}} ^{\mathrm{2}} +\mathrm{8m}_{\mathrm{k}} \mathrm{q}_{\mathrm{k}} +\mathrm{4q}_{\mathrm{k}} ^{\mathrm{2}} \right)−\mathrm{2}^{\mathrm{k}+\mathrm{1}} } \\ $$$$=\mathrm{2}\left(\mathrm{m}_{\mathrm{k}} +\mathrm{q}_{\mathrm{k}} \right)+\sqrt{\mathrm{4}\left(\mathrm{m}_{\mathrm{k}} +\mathrm{q}_{\mathrm{k}} \right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}^{\mathrm{k}+\mathrm{1}} .} \\ $$$$\mathrm{Putting}\:\mathrm{m}_{\mathrm{k}+\mathrm{1}} =\mathrm{2}\left(\mathrm{m}_{\mathrm{k}} +\mathrm{q}_{\mathrm{k}} \right),\mathrm{q}_{\mathrm{k}+\mathrm{1}} =\mathrm{m}_{\mathrm{k}} +\mathrm{2q}_{\mathrm{k}} \\ $$$$\:\mathrm{then}\:\mathrm{A}_{\mathrm{k}+\mathrm{1}} =\mathrm{m}_{\mathrm{k}+\mathrm{1}} +\sqrt{\mathrm{m}_{\mathrm{k}+\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}^{\mathrm{k}+\mathrm{1}} }\mathrm{and}\: \\ $$$$\mathrm{q}_{\mathrm{k}+\mathrm{1}=} \sqrt{\frac{\mathrm{m}_{\mathrm{k}+\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}^{\mathrm{k}+\mathrm{1}} }{\mathrm{2}}\:}\:\in\boldsymbol{\mathrm{N}}\:\mathrm{which}\:\mathrm{shows} \\ $$$$\mathrm{that}\:\mathrm{State}\:\mathrm{is}\:\mathrm{true}\:\mathrm{for}\:\mathrm{n}=\mathrm{k}+\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{By}\:\mathrm{indution}\:\mathrm{principle}\:\mathrm{State}\:\mathrm{is}\:\mathrm{true}\: \\ $$$$\forall\mathrm{n}\in\boldsymbol{\mathrm{N}}\:.\mathrm{Thus},\mathrm{there}\:\mathrm{is}\:\mathrm{always}\:\mathrm{exists}\:\mathrm{a} \\ $$$$\mathrm{natural}\:\mathrm{number}\:\mathrm{m}\:\mathrm{so}\:\mathrm{that} \\ $$$$\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\boldsymbol{\mathrm{n}}} =\left(\boldsymbol{\mathrm{m}}+\sqrt{\boldsymbol{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}^{\boldsymbol{\mathrm{n}}} }\:\forall\boldsymbol{\mathrm{n}}\in\boldsymbol{\mathrm{N}}\:\left(\boldsymbol{\mathrm{q}}.\boldsymbol{\mathrm{e}}.\boldsymbol{\mathrm{d}}\right)\right. \\ $$
Commented by 175 last updated on 03/Jul/20
thank,
please answer the quation 2
Commented by 175 last updated on 03/Jul/20
khd
Commented by 1549442205 last updated on 04/Jul/20
$$\mathrm{You}\:\mathrm{are}\:\mathrm{welcome}\:\mathrm{sir}. \\ $$