Question Number 101474 by 175 last updated on 02/Jul/20
Answered by 1549442205 last updated on 07/Jul/20
$$\left(\boldsymbol{\mathrm{see}}\:\boldsymbol{\mathrm{the}}\:\boldsymbol{\mathrm{solution}}\:\boldsymbol{\mathrm{of}}\:\boldsymbol{\mathrm{the}}\:\boldsymbol{\mathrm{question}}\:\mathrm{101247}\right) \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{we}}\:\boldsymbol{\mathrm{known}}\:\boldsymbol{\mathrm{that}}\:\left[\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\boldsymbol{\mathrm{n}}} \right]=\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\boldsymbol{\mathrm{n}}} +\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\boldsymbol{\mathrm{n}}} −\mathrm{1} \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{is}}\:\boldsymbol{\mathrm{an}}\:\boldsymbol{\mathrm{odd}}\:\boldsymbol{\mathrm{number}}.\boldsymbol{\mathrm{Putting}}\:\boldsymbol{\mathrm{A}}_{\boldsymbol{\mathrm{n}}} =\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\boldsymbol{\mathrm{n}}} +\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\boldsymbol{\mathrm{n}}} \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{then}}\:\boldsymbol{\mathrm{a}}_{\boldsymbol{\mathrm{n}}} =\boldsymbol{\mathrm{A}}_{\boldsymbol{\mathrm{n}}} −\mathrm{1}.\boldsymbol{\mathrm{Using}}\:\boldsymbol{\mathrm{induction}}\:\boldsymbol{\mathrm{method}} \\ $$$$+\boldsymbol{\mathrm{For}}\:\boldsymbol{\mathrm{n}}=\mathrm{2}\:\Rightarrow\boldsymbol{\mathrm{a}}_{\mathrm{2}} =\left[\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} \right]=\left[\mathrm{6}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{2}}\right]=\mathrm{11} \\ $$$$=\mathrm{2}.\mathrm{3}+\mathrm{1}+\left(\mathrm{3}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{a}}_{\mathrm{1}} +\mathrm{1}+\left(\boldsymbol{\mathrm{a}}_{\mathrm{1}} +\mathrm{1}\right) \\ $$$$\Rightarrow\boldsymbol{\mathrm{Equality}}\:\boldsymbol{\mathrm{true}} \\ $$$$+\boldsymbol{\mathrm{Suppose}}\:\boldsymbol{\mathrm{Equality}}\:\boldsymbol{\mathrm{is}}\:\boldsymbol{\mathrm{true}}\:\forall\boldsymbol{\mathrm{n}}\leqslant\boldsymbol{\mathrm{k}}\:\boldsymbol{\mathrm{which}} \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{means}}\:\boldsymbol{\mathrm{we}}\:\boldsymbol{\mathrm{had}}\:\boldsymbol{\mathrm{a}}_{\boldsymbol{\mathrm{k}}} =\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{a}}_{\boldsymbol{\mathrm{k}}−\mathrm{1}} +\mathrm{1}+\underset{\mathrm{r}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{k}−\mathrm{1}} {\boldsymbol{\Sigma}}}\left(\boldsymbol{\mathrm{a}}_{\boldsymbol{\mathrm{r}}} +\mathrm{1}\right) \\ $$$$+\boldsymbol{\mathrm{Then}}\:\boldsymbol{\mathrm{a}}_{\boldsymbol{\mathrm{k}}+\mathrm{1}} =\left[\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\boldsymbol{\mathrm{k}}+\mathrm{1}} \right]=\boldsymbol{\mathrm{A}}_{\boldsymbol{\mathrm{k}}+\mathrm{1}} −\mathrm{1} \\ $$$$=\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\boldsymbol{\mathrm{k}}+\mathrm{1}} +\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\boldsymbol{\mathrm{k}}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}=\left[\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\boldsymbol{\mathrm{k}}} +\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\boldsymbol{\mathrm{k}}} \right]\left[\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}\:\right)+\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{2}}\right)\right] \\ $$$$−\mathrm{2}\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} −\mathrm{2}\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} −\mathrm{1} \\ $$$$=\mathrm{4}\boldsymbol{\mathrm{A}}_{\boldsymbol{\mathrm{k}}} −\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{A}}_{\boldsymbol{\mathrm{k}}−\mathrm{1}} −\mathrm{1}=\mathrm{4}\left(\boldsymbol{\mathrm{A}}_{\boldsymbol{\mathrm{k}}} −\mathrm{1}\right)−\mathrm{2}\left(\boldsymbol{\mathrm{A}}_{\boldsymbol{\mathrm{k}}−\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right)+\mathrm{1} \\ $$$$=\mathrm{4}\boldsymbol{\mathrm{a}}_{\boldsymbol{\mathrm{k}}} −\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{a}}_{\boldsymbol{\mathrm{k}}−\mathrm{1}} +\mathrm{1}=\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{a}}_{\boldsymbol{\mathrm{k}}} +\mathrm{1}+\boldsymbol{\mathrm{a}}_{\boldsymbol{\mathrm{k}}} +\left(\boldsymbol{\mathrm{a}}_{\boldsymbol{\mathrm{k}}} −\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{a}}_{\boldsymbol{\mathrm{k}}−\mathrm{1}} \right) \\ $$$$=\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{a}}_{\boldsymbol{\mathrm{k}}} +\mathrm{1}+\boldsymbol{\mathrm{a}}_{\boldsymbol{\mathrm{k}}} +\left\{\left[\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{a}}_{\boldsymbol{\mathrm{k}}−\mathrm{1}} +\mathrm{1}+\underset{\mathrm{r}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{k}−\mathrm{1}} {\boldsymbol{\Sigma}}}\left(\boldsymbol{\mathrm{a}}_{\boldsymbol{\mathrm{r}}} +\mathrm{1}\right)\right]−\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{a}}_{\boldsymbol{\mathrm{k}}−\mathrm{1}} \right\} \\ $$$$=\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{a}}_{\boldsymbol{\mathrm{k}}} +\mathrm{1}+\left(\boldsymbol{\mathrm{a}}_{\boldsymbol{\mathrm{k}}} +\mathrm{1}+\underset{\mathrm{r}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{k}−\mathrm{1}} {\boldsymbol{\Sigma}}}\left(\boldsymbol{\mathrm{a}}_{\boldsymbol{\mathrm{r}}} +\mathrm{1}\right)\right) \\ $$$$=\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{a}}_{\boldsymbol{\mathrm{k}}} +\mathrm{1}+\underset{\mathrm{r}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{k}} {\boldsymbol{\Sigma}}}\left(\boldsymbol{\mathrm{a}}_{\boldsymbol{\mathrm{r}}} +\mathrm{1}\right).\boldsymbol{\mathrm{This}}\:\boldsymbol{\mathrm{shows}}\:\boldsymbol{\mathrm{that}} \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{Equality}}\:\boldsymbol{\mathrm{is}}\:\boldsymbol{\mathrm{also}}\:\boldsymbol{\mathrm{true}}\:\boldsymbol{\mathrm{for}}\:\boldsymbol{\mathrm{n}}=\boldsymbol{\mathrm{k}}+\mathrm{1}.\boldsymbol{\mathrm{Hence}}, \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{by}}\:\boldsymbol{\mathrm{induction}}\:\boldsymbol{\mathrm{Equality}}\:\boldsymbol{\mathrm{is}}\:\boldsymbol{\mathrm{true}}\:\forall\boldsymbol{\mathrm{n}}\in\boldsymbol{\mathrm{N}},\boldsymbol{\mathrm{n}}>\mathrm{1} \\ $$$$\left(\boldsymbol{\mathrm{q}}.\boldsymbol{\mathrm{e}}.\boldsymbol{\mathrm{d}}\right) \\ $$